Гамильтониан во вторичном квантовании

[rotozeev]

Из каких соображений появляется, например, гамильтониан осциллятора
$\hat H = \hbar\omega (a^+a+1/2)$
совершенно понятно. Был всем известный гамильтониан в координатном представлении, который в свою очередь является квантовым аналогом классического гамильтониана (заменили импульс на оператор), и в этом гамильтониане сделали замену, выразив новые операторы рождения/уничтожения через импульс и координату.

Но в статьях и докладах конференций с самого начала выписывают гамильтониан во вторичном квантовании. Особенно интересно то, почему при описании взаимодействия одних сущностей с другими в члене гамильтониана, ответственного за взаимодействие, это описание сводится просто к умножению операторов, соответствующих этим разным сущностям?
Например, такой кусок гамильтониана:
$a^+a(b^++b)$ (a - связан с электронами, b - с фононами).

Другого просто не может ничего быть? Или все это имеет ясные аналоги в классике?

[Physman]

Вторичное квантование очень удобно с точки зрения наглядности. Многие вещи понятны интуитивно. Кроме того, с его помощью можно квантовать не только материальную систему (атом, 2-уровневую систему, например), но и электромагнитное поле (свет, например).

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Из каких соображений появляется, например, гамильтониан осциллятора

Во вторичном квантовании оператор количества частиц записывается как $\hat{n}=\hat{a}^\dagger \hat{a}$ (впоследствии давайте опускать шапки над операторами). Таким образом, Гамильтониан осциллатора можно прочитать примерно так: энергия системы определяется "нулевой" энергией осциллятора $\hbar\omega/2$ плюс энергией возбуждений, количество которых $a^\dagger a$.

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Особенно интересно то, почему при описании взаимодействия одних сущностей с другими в члене гамильтониана, ответственного за взаимодействие, это описание сводится просто к умножению операторов, соответствующих этим разным сущностям?
Например, такой кусок гамильтониана:
$a^+a(b^++b)$ (a - связан с электронами, b - с фононами).

Здесь вы выписали (упрощённый) Гамильтониан Фрёлиха, описывающий обмен возбуждениями между двумя системами: электронной и фононной. Фрёлих изначально использовал его для описания возникновения полярона. Вообще, чтобы объяснить, лучше записать так: ${\cal H}=V\left(a^{\dagger}_ka_{k+q}b^{\dagger}_q+a_ka^{\dagger}_{k+q}b_q\right)$, что значит следующее: в первом члене электрон переходит на нисшее по энергии состояние и теряет импульс $q$, передавая его фонону, как и разницу в энергиях. Второй член в Гамильтониане попробуйте сами разобрать.

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Другого просто не может ничего быть?

Да может. Например, самый простой вариант обмена возбуждениями можно записать так: $g(a^\dagger b+ab^\dagger)$. Так две подсистемы обмениваются возбуждениями: в одной из них рождается возбуждение (это соответствует оператору рождения $a^\dagger$ или $b^\dagger$). а в другой исчезает (оператор уничтожения $a$ или $b$).

P.S. Литературу скинуть какую-нибудь?

[ChaosProcess]

Насколько я знаю, люди прилагают значительные усилия, чтобы свести взаимодействия к такой форме. Например, в спиновых волнах и БКШ-теории.

[espe]

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Из каких соображений появляется, например, гамильтониан осциллятора
$\hat H = \hbar\omega (a^+a+1/2)$
совершенно понятно.

Вы сами ответили на свой вопрос:

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Был всем известный гамильтониан в координатном представлении, который в свою очередь является квантовым аналогом классического гамильтониана (заменили импульс на оператор), и в этом гамильтониане сделали замену, выразив новые операторы рождения/уничтожения через импульс и координату.

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Но в статьях и докладах конференций с самого начала выписывают гамильтониан во вторичном квантовании. Особенно интересно то, почему при описании взаимодействия одних сущностей с другими в члене гамильтониана, ответственного за взаимодействие, это описание сводится просто к умножению операторов, соответствующих этим разным сущностям?

Другого просто не может ничего быть?

Ну да. Умножение и сложение. А что ещё можно делать с операторами?

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Или все это имеет ясные аналоги в классике?

Чтобы найти класический аналог нужно сделать обратное преобразование: от операторов рождения и уничтожения перейти к (обобщённым) координатам и импульсам. Станет ли яснее я не знаю.

[Alex-Yu]

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Например, такой кусок гамильтониана:
$a^+a(b^++b)$ (a - связан с электронами, b - с фононами).

Другого просто не может ничего быть? Или все это имеет ясные аналоги в классике?

В принципе это просто первый член разложения потенциальной энергии электронов в ряд по смещениям атомных остовов. Ну действительно, вторично квантованная (т.е. многчастичная) потенциальная энергия электронов это:

$$ \int \psi^+(r)V(r)\psi(r)d^3r $$

Естественно, потенциальная энергия электрона в точке $r$ изменится, если сместятся атомные остовы. Так что $V(r)$ зависит еще и от этих смещений (пусть это будет $q$). Раскладываем $V(r)$ в ряд с точностью до линейных по $q$ членов. Тогда у нас получится что-то вроде

$$ \int \psi^+(r)q K(r)\psi(r)d^3r $$

$K(r)$ -- некие коэффициенты, показывающие как в линейном приближении меняется $V(r)$ при смещениях, и еще сумма по разным $q$. Малые смещения атомов это фононы, осцилляторы. Раскладываем по Фурье эти смещения ($b^++b$ это как раз координта осциллятора т.е. $q$) и электрнные $\psi$-операторы и получаем то, что Вы написали.

В принципе все это надо бы делать с самого начала примерно так, как написано. Но это очень сложная и громоздкая задача. И, если не заниматься сложными компьютерными расчетами (квантовая химия по сути), все равно будет куча феноменологических, подгоночных параметров. Поэтому зачастую этим не заморачиваются и все, что в принципе выражается через эти подгоночные параметры просто заменяют одним феноменологическим параметром -- коэффициентом при $a^+a(b^++b)$. Примерно (весьма примерно!) так.

[rotozeev]

То есть получается так, что человеку, который пишет гамильтониан в терминах вторичного квантования, отталкиваться от того, что гамильтониан - это полная энергия, выраженная через импульсы и координаты с последующим квантованием оных вовсе не обязательно? Нужно всего лишь написать все возможные процессы столкновения, поглощения и рождения с учетом законов сохранения импульса/энергии. Но ведь это все, тоже может обернуться бесконечным количеством вариантов. Например, касательно ответа Physman, я могу продолжить записывать взаимодействие электронов с фононами следующим слагаемым: $a^+_{k'}b^+_{k+q-k'}a_kb_k + a^+_{k}b^+_{q}a_{k'}b_{k+q-k'}$ и так далее. И нужно как то рассчитывать коэффициенты перед подобными слагаемыми, чтобы понять, когда прекратить.

То есть я к чему: если стартовать из полной энергии, то все как бы понятно. А если стартовать от того, что просто выписывать все взаимодействия и переходы, то очевидно, что всего не выпишешь, и нужно как то доказывать, что то, что отброшено - не существенно.

И есть ли какой то общий подход: что делают с таким вот гамильтонианом? В задаче Боголюбова - диагонализуют, чтобы найти статсумму и спектр. А если частиц не один сорт, а несколько? И если интересует не термодинамика, а кинетика, скажем, электропроводность?

[Munin]

rotozeev в сообщении #644298 писал(а):

Или все это имеет ясные аналоги в классике?

Скорее, всё это имеет ясные аналоги в фейнмановских диаграммах и типичных взаимодействиях в терминах частиц (квазичастиц). Здесь операторы рождения и уничтожения напрямую интерпретируются как рождение и уничтожение частиц.

Например, член $a^+ab$ отвечает поглощению фонона электроном:

и используется примерно так:
$\langle\textit{final state}|a^+ab|\textit{initial state}\rangle$
где сначала берётся некоторое начальное состояние $|\textit{initial state}\rangle,$ потом на него действуют операторами уничтожения тех частиц, которые "входят" в диаграмму", потом умножают на множитель всей диаграммы (здесь единица, а вообще в него входят константы связи и законы сохранения, типа $\delta(E_1+E_2-E_3)$), и потом действуют операторами рождения тех частиц, которые "выходят" из диаграммы (здесь диаграмма нарисована "снизу вверх", иногда их рисуют "слева направо").

То есть:
$a|\textit{initial state}\rangle$ - "удаляет" из начального состояния взаимодействующий электрон. Если в начальном состоянии такого электрона нет, то оператор просто зануляет состояние и всё, что дальше будет с ним происходить.
$b|\textit{initial state}\rangle$ - "удаляет" из начального состояния взаимодействующий фонон. Разумеется, $a$ и $b$ коммутируют, так что ставить их можно в любом порядке.
Итого:
$|\textit{m}\rangle=ab|\textit{initial state}\rangle$ - начальное состояние соответствует данной диаграмме, и из него "удалены" все частицы, вступающие во взаимодействие.
$a^+|\textit{m}\rangle$ - по результатам взаимодействия, появляется электрон (в новом состоянии, то есть это другой $a^+,$ если выписывать все параметры и индексы, как подсказал Physman).
Итого, получилось конечное состояние
$|\textit{final state}\rangle=a^+|\textit{m}\rangle$
Свернув его с бра-вектором, получаем амплидуту вероятности данного процесса. Гамильтониан описывает эволюцию, то есть в матричной форме, собственно, и состоит из всевозможных амплитуд переходов из начальных в конечные состояния.

Аналогично, второе слагаемое в обсуждаемой сумме соответствует процессу

[Physman]

rotozeev в сообщении #644552 писал(а):

я могу продолжить записывать взаимодействие электронов с фононами

Ну разумеется, можете. Но здесь возможны два варианта. Первый: высшими порядками взаимодействия пренебречь нельзя, многочастичные процессы так же "вероятны", как и двух-частичный процесс. Тогда нужно применять подход Фейнмана и т.д. - в общем, пытаться как-то решить задачу. Обычно, трудно.

Второй случай (наиболее часто встречающийся): теория возмущений. Если запишите $a^\dagger ab^\dagger b$, вы уже будете иметь дело не с трёх-частичным процессом (как в $a^\dagger ab^\dagger$), а с 4-х, 5-ти частичным, и т.д. Обычно, эти процессы становятся всё менее вероятными. И на каком-то шаге константа взаимодействия становится настолько малой, что процессом пренебрегают. обычно хватает 1 или 2 порядка.

P.S. Не знаю, стоит ли советовать, но всё же. Посмотрите книжку Абрикосов, Горьков, Дзялошинский "Методы квантовой теории поля в статистической физике". По фейнмановским диаграммам хорош Маттук - очень известная книжка. С неё стоит начать.

[Munin]

rotozeev в сообщении #644552 писал(а):

Но ведь это все, тоже может обернуться бесконечным количеством вариантов.

Ну, во-первых, там подразумевается кратный интеграл по всем импульсам входящих частиц, умноженный на дельта-функции, отвечающие нужным законам сохранения. То есть здесь всё множество вариантов охватывается значком $\int.$

Во-вторых, и эта тема посложнее, кроме элементарных процессов (которые даже на древесном уровне могут быть в разных вариантах, амплитуды надо складывать) могут происходить более сложные, например, вот такой однопетлевой вариант:


Чтобы учесть такие варианты, реальный гамильтониан приходится записывать в виде ряда, члены которого отвечают 0 петель, 1 петле, 2 петлям и т. д. - этот ряд создаётся на основе т. н. "затравочного" гамильтониана. Если последовательные члены ряда сходятся, то часто можно отвлечься так или иначе от этих деталей, а вот если не сходится - возникают проблемы. Зависит это от константы взаимодействия - если она мала, то ряд сходится, а если порядка 1 или больше - то расходится.