Остаточный член в форме Пеано...

[Wilfred Desert]

Добрый день! Понимаю, насколько дилетантский вопрос задаю,но всё же...
Не могу въехать в запись остатка в форме Пеано...
Например для $sinx$
В некоторых книгах пишут: $sinx=x-\frac{x^3}{3!}}+o(x^4)$
В других: $sinx=x-\frac{x^3}{3!}}+o(x^3)$ (хотя по формуле должно быть $o(x^4)$

$sinx=x+o(x)$ или же $sinx=x+o(x^2)$?



Заранее спасибо!

[Sonic86]

Вы прочитайте определение $o$-малого Так просто выражается разная степень точности. Если $f(x)=o(g(x))$ и $\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=\infty$, то $f(x)=o(g(x)h(x))$ тоже. Есс-но, чем точнее пишут, тем лучше.

[Wilfred Desert]

Спасибо! Посоветуйте пожалуйста, где можно почитать про символику Ландау.
В Никольском прочитал, но многое осталось неясным...

[ewert]

Wilfred Desert в сообщении #643909 писал(а):

В некоторых книгах пишут: $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$
В других: $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

На самом деле там вообще лучше писать $O(x^5)$. Символ $o(x^3)$ -- это стандартный вариант формы Пеано: остаток много меньше, чем последний выписанный член. Запись $o(x^4)$ учитывает тот факт, что фактически в разложении четвёртая степень отсутствует (т.е. она в выражении как бы присутствует, но опущена, поскольку коэффициент при ней равен нулю); поэтому поправка много меньше этой четвёртой степени, как бы учтённой. Оценка тем самым получается формально более точной, но выглядит несколько нелепо -- типа немножко беременность.