ОТО - единая геометризующая теория поля

[pc20b]

Someone

Цитата:

pc20b писал(а):

Мы в задаче склейки решения для внутреннего мира электрического заряда с внешним решением Рейсснера-Нордстрема использовали следующие условия склейки на гиперповерхности $(h)$ $f(x^{\mu})=r-r_h=0$ :

(16) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(17) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(18) $_0K_r^{(4)}=\left[C\right]$,
(19) $_0K_r^{(4)'}=0$.

Давайте проверим эти условия на уже знакомом примере решения Рейснера - Нордстрёма. После того, как Вы сделали замену переменной $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, появились две области $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$, склеенные по поверхности $f(x^{\mu})\equiv r-2r_f=0$. Проверьте, пожалуйста, выполняются ли здесь Ваши условия (16) - (19). По возможности, аккуратно. Ранее Вы ответили, что выполняются, правда, не уточняя, какие условия Вы имели в виду.

Имелись в виду все условия (16)-(19). Они выполняются. Но имелась в виду не склейка двух ветвей примера функции преобразования координат $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$ (которые, как Вы заметили, и так склеены), а, наоборот, разрез данной функции в точке $\tilde r=0$ и склейка одной ветви данной функции $\tilde r\geqslant 0$ при отрезанной сингулярной части решения Рейсснера - Нордстрема, лежащей в координатах кривизн в области $r<2r_f$, с внутренним решением на горловине $R=R_h=2r_f$.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

pc20b писал(а):

Мы в задаче склейки решения для внутреннего мира электрического заряда с внешним решением Рейсснера-Нордстрема использовали следующие условия склейки на гиперповерхности $(h)$ $f(x^{\mu})=r-r_h=0$ :

(16) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(17) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(18) $_0K_r^{(4)}=\left[C\right]$,
(19) $_0K_r^{(4)'}=0$.

Давайте проверим эти условия на уже знакомом примере решения Рейснера - Нордстрёма. После того, как Вы сделали замену переменной $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, появились две области $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$, склеенные по поверхности $f(x^{\mu})\equiv r-2r_f=0$. Проверьте, пожалуйста, выполняются ли здесь Ваши условия (16) - (19). По возможности, аккуратно. Ранее Вы ответили, что выполняются, правда, не уточняя, какие условия Вы имели в виду.

Имелись в виду все условия (16)-(19). Они выполняются. Но имелась в виду не склейка двух ветвей примера функции преобразования координат $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$ (которые, как Вы заметили, и так склеены)...

Пожалуйста, проверьте условия (16) - (19) именно на том примере, о котором я просил. Эти две ветви склеены, но вопрос был о том, правильно ли они склеены. Про Ваш пример Вы уже давно говорили.

Остальное обсудим позже.

[Someone]

pc20b писал(а):

Большое спасибо за настойчивый поиск ошибок в обсуждаемой работе. Это очень помогает понять нюансы. Серьёзно, без задних мыслей. Но, к сожалению, пока то, что предложено Вами в литературе, оказывается немного не то. И, благодаря критике, мы всё больше убеждаемся в отсутствии их в исследуемом решении.

У меня складывается противоположное впечатление: Вы всё больше запутываетесь. Обсуждая со мной различные вопросы, Вы сталкиваетесь с элементарными, но неожиданными для Вас вещами, и, вследствие недостаточной математической культуры, не можете в них разобраться. А просто поверить мне тоже не можете, поскольку это равносильно признанию ошибок в опубликованной работе.

pc20b писал(а):

Вот и здесь, в процитированной Вами работе... Потом, алгоритм дальнейших действий вовсе не такой, какой Вы изложили...

Ну, я особо внимательно не анализировал данную работу, просто бегло просмотрел. С моей точки зрения, нахождение общего решения не предполагает решения задачи Коши или краевой задачи. Даже в простых случаях получение решения задачи с начальными и граничными условиями из общего решения может быть весьма нетривиальным.

pc20b писал(а):

Цитата:

Преобразование координат - это не более чем замена этих ярлычков, с самим многообразием и с его точками при этом ничего не происходит.

Это знает любой первокурсник (советского) мехмата. Неплохо бы тут вспомнить определение многообразия.

Вы это мне пишете то ли второй, то ли третий раз. И, к моему большому удивлению, тут же заявляете, что в Вашем случае эта замена ярлычков радикально изменяет многообразие.
Правда, Вы ссылаетесь на то, что якобиан обращается в ноль. Логика Ваша основана на недоразумении. Я Вам уже не один раз объяснял, что многообразие, которое мы определили как многообразие класса $C^n$, одновременно является также многообразием класса $C^0$. Ваша замена - такая же замена ярлычков, только в классе $C^0$. Независимо от того, в каком классе Вы производите эту замену ярлычков, с самим многообразием и его точками ничего не происходит. Ярлычки Вы развешиваете для собственных нужд, многообразию на это начихать.

Добавлено спустя 1 час 49 минут 38 секунд:

pc20b писал(а):

Там использовано преобразование декартовой системы координат $\left\{{x,y,z,t}\right\}$ в плоском пространстве-времени Минковского (ПВМ) в рамках метода "комплексного сдвига" :
$z\to z+ia$, где $a=const$, -
для получения из решений уравнений Максвелла в ПВМ для одиночного невращающегося заряда в метрике
(1) $g_{\mu\nu}=\eta _{\mu\nu}=diag (1, -1, -1, -1)$
нового решения уже в кривом пространстве-времени для вращающегося электрического заряда

Да, есть такой метод. Однако надо иметь в виду, что координаты на (вещественном) многообразии по определению должны быть вещественными, и просто так сделать комплексную замену координат нельзя (обратите внимание: Вы протестуете даже против перехода из класса $C^n$ в класс $C^0$, хотя это вполне законно, если нам этого класса гладкости хватает). Нужно предварительно вложить наше многообразие в комплексное многообразие, снабжённое всеми теми же структурами, какими снабжено наше многообразие (в данном случае - квадратичной формой $ds^2$), причём, так, чтобы эти структуры на многообразиях были согласованы. Это не всегда возможно. В случае четырёхмерного пространства-времени это комплексное многообразие будет восьмимерным (комплексная размерность равна 4). Комплексная замена координат делается на самом деле на этом комплексном многообразии. Потом, если повезёт, и действительным значениям новых координат будут соответствовать действительные значения нашей квадратичной формы $ds^2$, и сигнатура окажется правильной, мы сможем выделить новое четырёхмерное пространственно-временное многообразие. Оно не совпадает со старым. Так что это не старое многообразие изменилось благодаря замене координат, а было выделено новое вещественное подмногообразие из комплексного многообразия, полученного комплексификацией исходного многообразия.

Претензии по поводу того, что этот вопрос не освещается должным образом в физической литературе, следует предъявлять не мне.

pc20b писал(а):

путем перехода к т.н. сфероидальным сплющенным координатам $\left\{{r_c,\theta _c,\varphi}\right\}$ с помощью преобразования координат ...

Если их записать в действительном виде, то получатся такие преобразования координат :

$ \left\{ \begin{array}{l} x=(r_c cos\varphi-a sin\varphi)sin \theta _c,\\ y=(r_c sin\varphi+a cos\varphi)sin\theta _c,\\ z=r_c cos \theta _c\\ \end{array} . $

Бог с ними, с комплексными формулами. Получится интервал

$$ds^2=dt^2-dr_c^2+2a\sin^2\theta_cdrd\varphi-(r_c^2+a^2)\sin^2\theta_cd\varphi^2-(r_c^2+a^2\cos^2\theta_c)d\theta_c^2\text{.}$$

pc20b писал(а):

Если бы данное преобразование координат сохраняло изометрию (а это может быть только при не равных нулю якобианах прямого и обратного преобразований), то, как известно любому первокурснику мехмата, пространство-время оставалось бы по-прежнему плоским ПВМ.

Я настоятельно рекомендую Вам собственноручно вычислить все 256 компонент тензора Римана $R^i_{\phantom{i}klm}$ и убедиться, что все они равны 0. Поскольку Вы взяли плоское пространство-время и сделали в нём замену координат, то, как я и говорил, ничего с ним (пространством-временем) не случилось.

Вообще, я уже писал, что употребление термина "изометрия" по отношению к замене координат является бессмыслицей. Замена координат сохраняет все структуры, имеющиеся на многообразии, в том числе - длины всех кривых.

pc20b писал(а):

Но в данном случае якобиан преобразования $J$, равный

$$J=sin\theta _c(r_c^2+a^2cos^2\theta _c)$$

,
нулится на сингулярном изотропном кольце
$x^2+y^2=a^2$, $z=0$ ($\theta _c=\frac {\pi}{2}, r_c=0$).

Ну и что?

pc20b писал(а):

Можно попытаться предложить и более простой наглядный пример вырожденного преобразования, меняющего геометрию. Скажем, такой. Пусть есть 2-поверхность $\Sigma$ в 3-евклидовом пространстве :
$f(x,y,z)=x^2+y^2-z=0$,-
т.е. круговой конус в $R^{(3)}$.

Вообще-то, это не конус, а параболоид.

pc20b писал(а):

Рассмотрим преобразование :
$x=\tilde x$,
$y=\tilde y$,
$z=1$

$x,y,z$ - координаты не на параболоиде, а в пространстве $\mathbb R^3$. А то, что Вы делаете, заменой координат не является. Вообще, от замены координат требуется взаимная однозначность в той области, в которой она рассматривается. От этого требования можно "немного" отступать, если это удобно и если понимать, что с этим делать.

pc20b писал(а):

Оно генерирует поверхность $\tilde \Sigma$ :
$\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$,
т.е. круговой конус превращается в круговой цилиндр.

Ерунда. На самом деле Вы взяли уравнение, определяющее параболоид, и добавили ограничение $z=1$, запудрив самому себе мозги всякими тильдами. В результате получилась система уравнений

$$\begin{cases}x^2+y^2-z=0\text{,}\\ z=1\text{,}\end{cases}$$

равносильная системе

$$\begin{cases}x^2+y^2-1=0\text{,}\\ z=1\text{,}\end{cases}$$

но никто не обещал (и этому Вас должны были научить в школе), что и уравнения $x^2+y^2-z=0$ и $x^2+y^2-1=0$ тоже должны быть равносильны.

И попробуйте также объяснить, какое отношение всё это имеет к Вашей статье в ЖЭТФ?

P.S. Не забывайте вопрос про склейку.

[pc20b]

Генерация новых геометрий вырожденными преобразованиями координат с нулящимся якобианом - 2

Someone
Просим извинить. В наглядном примере преобразования кругового конуса в круговой цилиндр в $R^{(3)}$ таким методом при наборе Матом уравнения конуса $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0$ вместо $z^2$ по ошибке набрано $z$, и оно стало уравнением параболоида. Но это никак не меняет сути дела : якобиан того же вырожденного преобразования

$x=\tilde x$,
$y=\tilde y$,
$z=1$

всё равно нулится во всей области, превращая либо конус, либо параболоид в цилиндр
$\tilde \Sigma$ :

$\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$.

И никакое это, как Вы выразились, не "пудрение мозгов".

Цитата:

А то, что Вы делаете, заменой координат не является. Вообще, от замены координат требуется взаимная однозначность в той области, в которой она рассматривается. От этого требования можно "немного" отступать, если это удобно и если понимать, что с этим делать.

Это немного не так. В этом-то всё и дело, что преобразования с вырожденной матрицей Якоби, следовательно, с нулящимся либо обращающимся в бесконечность якобианом, взаимно однозначными в общем, очевидно, не являются. Никакого "немного", как требования, для них нет. Они могут вырождаться в точке, на линии, на поверхности и т.д., т.е. на подпространствах, либо в самом пространстве. Если бы всё было однозначно и с требуемой степенью гладкости (для пространства ОТО - принадлежность классу $C^2$ везде, кроме уже имеющихся особенностей поля), то, как уже неоднократно отмечалось, метрика, а вслед за ней и сама гиперповерхность (в данном примере 2-поверхность $\Sigma$), оставались бы теми же.

Здесь же происходит преобразование подмногообразия.

Кстати, данный пример можно приблизить как аналог к требуемому в задаче склейки внутреннего и внешнего миров электрического заряда преобразованию координат в решении Рейсснера - Нордстрема, если рассмотреть задачу превращения конуса

$f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0$

вырожденным преобразованием :

$x=\tilde x$,
$y=\tilde y$,
$z=\sqrt \tilde z$

в параболоид

$\tilde f(\tilde x,\tilde y,\tilde z)=\tilde x^2+\tilde y^2-\tilde z=0$,-

в при котором якобиан обращается в бесконечность в точке $\tilde z=0$ :

$J=z_{,\tilde z}=\frac{1}{2\sqrt \tilde z}$.

Соответственно якобиан обратного преобразования в этой точке нулится.

В проекции же на нашу задачу проблема выглядит так : можно ли с помощью вырожденного преобразования координат с нулящимся якобианом выйти за класс эквивалентности метрик, описывающих данное пространство (решение) и получить новое пространство (решение, по-прежнему удовлетворяющее уравнениям Эйнштейна).

Скажем, из метрики (возьмем самый близкий пример) Рейсснера - Нордстрема для невращающегося точечного заряда в вакууме получить метрику Керра - Ньюмена для вращающегося (неустранимо, естественно) заряда.

Оказывается, что всё же можно. Никакие тут, извините, "увертки" типа специфики комплексных преобразований (преобразования можно записать и в действительной форме ***) не помогут. Генератор (причина) возникновения нового решения - отнюдь не уход в комплексную область в промежуточных вычислениях, а вырожденность преобразований координат. И, естественно, что вторым условием, усложняющим сам метод, является требование выполнение уравнений гравитационного поля.
(продолжение следует)

*** Хотя следует заметить, что заранее никто идею вырожденных преобразований координат не ограничивал полем действительных чисел.

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

Но это никак не меняет сути дела : якобиан того же вырожденного преобразования

$x=\tilde x$,
$y=\tilde y$,
$z=1$

всё равно нулится во всей области, превращая либо конус, либо параболоид в цилиндр
$\tilde \Sigma$ :

$\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$.

В какую точку цилиндра переходит точка конуса $x=3, y=4, z=5$?

[pc20b]

tolstopuz

Цитата:

В какую точку цилиндра переходит точка конуса $x=3, y=4, z=5$?

Ни в какую. Спасибо. Пример с цилиндром неудачный.

В общем, тут не всё для нас понятно, сейчас разбираемся.

[pc20b]

tolstopuz
Как ни парадоксально, этот пример преобразований координат, как прояснилось после консультации у стажеров из СГП, оказался на редкость удачным в смысле иллюстрации свойств преобразований с зануляющимся якобианом. Неудачный он в том смысле, что т.к. преобразование вырожденное, то установить взаимно однозначное соответствие между точками двух пространств (конуса и цилиндра) с помощью этого преобразования невозможно. Соответствие устанавливается новым отображением (Рис. 3).

Вашей точке на конусе соответствует такая точка на цилиндре :

$P(3,4,5)\leftrightarrow \tilde P(\frac35,\frac 45,5)$.

Интересным также является то, что вершина конуса $(0,0,0)$ вырождается в кольцо $(\sqrt {\tilde x^2+\tilde y^2}=1,0)$. Это можно рассматривать как иллюстрацию преобразования точечной сингулярности $r=0$ в метрике Рейсснера - Нордстрема в сингулярное кольцо в метрике Керра - Ньюмена - тоже вырожденными преобразованиями координат с нулящимся на кольце якобианом.



Приведенный выше ещё один пример вырожденного преобразования конуса в параболоид с якобианом, обращающимся в бесконечность лишь в точке $z=0$, любопытен тем, что иллюстрирует нашу попытку деформировать геометрию Рейсснера - Нордстрема, в которой в месте склейки с внутренним миром электрического заряда отсутствует горловина - экстремум либо перегиб кривизны радиальных сфер (в данном случае - на поверхности конуса), в геометрию, где эта горловина идентифицируется (в данном случае экстремум кривизны поверхности параболоида в точке $(0,0,0)$), как раз с помощью преобразования радиальной координаты с якобианом, обращающимся в нуль в одной точке (Рис. 4).

Хотелось бы также отметить, что эти грубые простейшие примеры показывают. что при вырожденных преобразованиях координат может меняться как внутренняя геометрия гиперповерхностей, так и их внешняя геометрия в пространстве вложения.

Добавлено спустя 53 минуты 36 секунд:

Someone

Цитата:

Правда, Вы ссылаетесь на то, что якобиан обращается в ноль. Логика Ваша основана на недоразумении. Я Вам уже не один раз объяснял, что многообразие, которое мы определили как многообразие класса $C^n$, одновременно является также многообразием класса $C^0$. Ваша замена - такая же замена ярлычков, только в классе $C^0$. Независимо от того, в каком классе Вы производите эту замену ярлычков, с самим многообразием и его точками ничего не происходит.

Ведь из того, что многообразия класса $C^n$ одновременно является также многообразием класса $C^0$, не следует, что преобразования, построенные на отображениях класса $C^0$, будут обеспечивать требуемый класс $C^n$ метрики (чтобы сохранить геометрию и удовлетворение уравнениям Эйнштейна).

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

Вашей точке на конусе соответствует такая точка на цилиндре :

$P(3,4,5)\leftrightarrow \tilde P(\frac35,\frac 45,5)$.

Так - да. Тогда предыдущее преобразование (где $z=1$) надо выкинуть за полной неправильностью, а не переписывать от руки на бумажку. А правильное можно записать и без корней:
$\tilde x = x/z, \tilde y = y/z, \tilde z = z$
И обратное к нему:
$x = \tilde x\tilde z, y = \tilde y\tilde z, z = \tilde z$
Они взаимно однозначны в смысле алгебраической геометрии, то есть на открытом всюду плотном подмножестве с каждой стороны (дополнение к кольцу на цилиндре и к вершине конуса соответственно). Это называется бирациональной эквивалентностью.

[pc20b]

tolstopuz

Цитата:

А правильное можно записать и без корней:
$\tilde x = x/z, \tilde y = y/z, \tilde z = z$

Спасибо. Тем не менее, как Вы отметили, и это преобразование либо вырождено (якобиан нулится при $z=0$), либо неполное ($z\neq 0$).

P.S. Разве бывают неправильные преобразования?

[pc20b]

Someone

Цитата:

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Мы в задаче склейки решения для внутреннего мира электрического заряда с внешним решением Рейсснера-Нордстрема использовали следующие условия склейки на гиперповерхности $(h)$ $f(x^{\mu})=r-r_h=0$ :

(16) $g_{\mu\nu}=\left[C\right]$,
(17) $G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}=\left[C\right]$,
(18) $_0K_r^{(4)}=\left[C\right]$,
(19) $_0K_r^{(4)'}=0$.

Давайте проверим эти условия на уже знакомом примере решения Рейснера - Нордстрёма. После того, как Вы сделали замену переменной $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, появились две области $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$ и $\tilde r\geqslant 0$, склеенные по поверхности $f(x^{\mu})\equiv r-2r_f=0$. Проверьте, пожалуйста, выполняются ли здесь Ваши условия (16) - (19). По возможности, аккуратно. Ранее Вы ответили, что выполняются, правда, не уточняя, какие условия Вы имели в виду.

Имелись в виду все условия (16)-(19). Они выполняются. Но имелась в виду не склейка двух ветвей примера функции преобразования координат $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$ (которые, как Вы заметили, и так склеены)...

Пожалуйста, проверьте условия (16) - (19) именно на том примере, о котором я просил. Эти две ветви склеены, но вопрос был о том, правильно ли они склеены. Про Ваш пример Вы уже давно говорили.

Вроде бы эти условия в Вашем случае выполняются. Вообще-то радиальная координата в сферической системе координат обычно неотрицательна. С другой стороны, не видно, казалось бы, ограничений на продолжение $r,\tilde r$ в область отрицательных значений. Тогда почему бы не рассмотреть , скажем, решение Рейсснера - Нордстрема в координатах кривизн в области $r\in (-\infty ,0)$. Там продолжение за сингулярность $r=0$ дает, очевидно, асимптотически уплощающийся мир с гравитационным отталкиванием, т.е. некую экзотику.

И в рассматриваемом примере преобразования радиальной координаты - вовсе не обязательно ограничиваться областью $\tilde r\in (-2r_f,\infty)$, можно рассмотреть всю действительную ось $\tilde r\in (-\infty , \infty)$. Более того, непонятно, почему надо рассматривать все функции над полем действительных чисел. Вообще чисел.

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

Тем не менее, как Вы отметили, и это преобразование либо вырождено (якобиан нулится при $z=0$), либо неполное ($z\neq 0$).

Алгебраическая геометрия, в отличие от дифференциальной, такими отображениями не брезгует.
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_mapping

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Более того, непонятно, почему надо рассматривать все функции над полем действительных чисел. Вообще чисел.

С чего Вы это взяли, что не рассматривают. Вы в каком классе учитесь

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Более того, непонятно, почему надо рассматривать все функции над полем действительных чисел. Вообще чисел.

С чего Вы это взяли, что не рассматривают.Question Вы в каком классе учитесь Question

В классе "К". Всюду разрывных, несвязных, замкнутых множеств меры нуль. Из фразы не следует, что не рассматривают.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 15 секунд:

tolstopuz

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Тем не менее, как Вы отметили, и это преобразование либо вырождено (якобиан нулится при $z=0$), либо неполное ($z\neq 0$).

Алгебраическая геометрия, в отличие от дифференциальной, такими отображениями не брезгует.

Понятно. Но дифференциальную геометрию волнует вопрос "непрерывности" - в смысле продолжения локального до глобального.

По предыдущим примерам отображений конус - цилиндр преобразованиями координат в активном смысле (alibi) хотелось бы попросить Вас прокомментировать два нюанса :
1) Преобразование : $x=\tilde x\tilde z, y=\tilde y\tilde z, z=\tilde z$ объекта $f=x^2+y^2-z^2=0$ даёт три решения :
$\tilde z=0$ - плоскость $(\tilde x,\tilde y)$;
$\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$ - цилиндр радиуса, равного единице;
кольцо в плоскости $\tilde z=0$ радиуса, равного единице.
Преобразование с корнем : $\tilde x=\frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}, \tilde y=\frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}, \tilde z=z$ сразу переводит не только конус $x^2+y^2-z^2=0$, но и всю область $R^{(3)}$ в цилиндр $\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$ в области $\tilde R^{(3)}$.

2) Преобразование $\tilde x=\frac {x}{z}, \tilde y=\frac {y}{z}, \tilde z=z$ (по)точечно отображает конус без вершины $x^2+y^2-z^2=0 , z\neq 0$ в $R^{(3)}$ в цилиндр без кольца $\tilde x^2+\tilde y^2-1=0, \tilde z\neq 0$ в $\tilde R^{(3)}$.
Преобразование, которое Вы назвали "полностью неправильным", $x=\tilde x, y=\tilde y, z=1$, сначала из конуса $f(x)=x^2+y^2-z^2=0$ вырезает кольцо $z=1$ в $R^{(3)}$ , а потом его в $\tilde R^{(3)}$ переводит в цилиндр $f(\tilde x)=\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$. Т.е. является неточечным.

[tolstopuz]

pc20b писал(а):

1) Преобразование : $x=\tilde x\tilde z, y=\tilde y\tilde z, z=\tilde z$ объекта $f=x^2+y^2-z^2=0$ даёт три решения :

Это преобразование тильдованных координат в обычные, а его подстановка в уравнение, наоборот, преобразует уравнение в обычных координатах в уравнение в тильдованных. Большая часть путаницы происходит именно из-за того, что вы забываете об этой контравариантности.

То есть записанное выше преобразование координат точек цилиндра в координаты точек конуса переводит уравнение конуса в уравнение цилиндра. Если надо узнать, в какую точку цилиндра переходит данная точка конуса, надо воспользоваться обратным преобразованием. А оно при $z=0$ не определено, поэтому $\tilde z=0$ получиться не может.

pc20b писал(а):

но и всю область $R^{(3)}$

Это неважно.

pc20b писал(а):

2) Преобразование $\tilde x=\frac {x}{z}, \tilde y=\frac {y}{z}, \tilde z=z$ (по)точечно отображает конус без вершины $x^2+y^2-z^2=0 , z\neq 0$ в $R^{(3)}$ в цилиндр без кольца $\tilde x^2+\tilde y^2-1=0, \tilde z\neq 0$ в $\tilde R^{(3)}$.

Да. Здесь вы о контравариантности не забыли.

pc20b писал(а):

Преобразование, которое Вы назвали "полностью неправильным", $x=\tilde x, y=\tilde y, z=1$, сначала из конуса $f(x)=x^2+y^2-z^2=0$ вырезает кольцо $z=1$ в $R^{(3)}$ , а потом его в $\tilde R^{(3)}$ переводит в цилиндр $f(\tilde x)=\tilde x^2+\tilde y^2-1=0$.

А здесь опять забыли. Это преобразование переводит не кольцо на конусе в весь цилиндр, а весь цилиндр в кольцо на конусе. Поэтому я и назвал его неправильным - оно не в ту сторону.

[pc20b]

tolstopuz
Спасибо за разъяснения. Тем не менее вопрос : можно ли с помощью вырожденных преобразований выйти при определённых условиях за класс эквивалентности и, тем самым, получить новое решение, - остаётся неясным. Как, к примеру, интерпретировать "трюк" : выход в решении Рейсснера - Нордстрема в комплексную область, там совершение трансляционных преобразований, возвращение назад в область действительных чисел и получение в результате решения Керра - Ньюмена для вращающегося точечного заряда.

Почему это важно : непосредственному применению результатов рассматриваемого решения к реальному электрону мешает лишь одно - отсутствие в решении неустранимого вращения, т.е. спина.