Окрестность точки

[RandomWalker]

условие:
окрестность каждой точки $x \in X$ содержит максимум одну точку из $A \subset X$

Вопросы:
1) можно ли в данном случае считать, что это верно для произвольной окрестности $x \in X$
2) если я все-таки так посчитаю, не будет ли это грубой ошибкой?

[Bod]

По моему нельзя. Возьми к примеру множество состоящее из двух точек. Расстояние между ними равно 1. Предположим А совпадает с X. Окрестности с радиусом 0,5 для каждой точки

\[ x \in X \]

будут содержать не более одной точки из A, в то время как окрестности с радиусом больше чем 1 будут уже содержать две точки.
Второй вопрос не очень корректен

[Someone]

RandomWalker писал(а):

условие:
окрестность каждой точки $x \in X$ содержит максимум одну точку из $A \subset X$

Условие тоже какое-то непонятное. Как надо читать:
1) каждая окрестность каждой точки $x \in X$ содержит максимум одну точку из $A \subset X$
или
2) существует окрестность каждой точки $x \in X$, содержащая максимум одну точку из $A \subset X$?

И что понимается под термином "окрестность"? Как правило, для каждой точки выделяется некоторое семейство (не обязательно) открытых подмножеств $X$, которые и называются окрестностями данной точки, но выбор такого семейства достаточно произволен, ограничение только одно: каждое открытое множество, содержащее точку, должно содержать и какую-нибудь окрестность этой точки (если окрестности не открытые, то дополнительно требуется, чтобы точка принадлежала внутренности любой своей окрестности). Например, на плоскости мы можем называть окрестностью любое открытое множество, содержащее данную точку. А можем называть окрестностями только круги радиуса $\frac 1n$, $n\in\mathbb N$, с центром в данной точке.

[RandomWalker]

Спасибо за ответы! Оказалось , что имелся в виду вариант

Цитата:

2) существует окрестность каждой точки $x \in X$, содержащая максимум одну точку из $A \subset X$?

появился еще вопрос:

Someone писал(а):

(если окрестности не открытые, то дополнительно требуется, чтобы точка принадлежала внутренности любой своей окрестности)

А какой смысл определять окрестность через замкнутые множества? По-моему, оба определения определяют одно и то же, хотя скорее всего я чего-то не улавливаю...

[RIP]

Иногда удобно окрестностью точки называть любое множество (необязательно открытое), для которого данная точка является внутренней. Видимо, Someone имел в виду это.
Я что-то не вижу, чтобы Someone упоминал про замкнутые множества.