Полугруппы и порождающие множества

[monz]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли рассуждаю. Задача в общем-то простая, но думаю, доказательство у меня не строгое.

Задача: K - произвольное непустое подмножество полугруппы A. Доказать, что [K] есть пересечение всех подполугрупп, содержащих K.

Полугруппа - множество, в котором определено действие, обладающее свойствами неограниченной применимости и ассоциативности.
Подполугруппа - непустое подмножество полугруппы, замкнутое относительно действия.
[K] - множество, для которого K является порождающим. То есть элементы [K] - это всевозможные произведения элементов K.
Утверждения 1), 2) будем использовать без доказательств:
1) Для любого непустого подможества K полугруппы A множ-во [K] является подполугруппой.
2) Пересечение подполугрупп является подполугруппой.

Доказательство.
Пусть K содержат две (для простоты) подполугруппы B и С.
$ K \subseteq B \subseteq A, K \subseteq C \subseteq A$, $
из 1)$ \Rightarrow $ $ [K] \subseteq B\cap C $
Предположим, что $ [K]\neq B\cap C $ и рассмотрим $M = (B\cap C)\diagdown[K]$
$ xy\in M для \forall x,y \in M$, иначе (используя 2) ) $xy\in [K]$, что противоречит определению M. Таким образом, M является подполугруппой в A, которая не содержит K. Но по условию мы берем пересечение только тех подполугрупп, которые K содержат. Значит, M можно исключить из рассмотрения и получим, что доказываемое утверждение верно.

[AV_77]

Лучше посмотрите как аналогичная теорема доказывается для подгрупп. С полугруппами точно также будет.

[monz]

А где именно можно посмотреть? Для групп обычно это используется в качестве определения.

[Joker_vD]

Пересечение $M$ всех подполугрупп, содержащих $K$, вложено в любую подполугруппу, содержащую $K$ — в частности, и в $[K]$, $M\subseteq [K]$.

С другой стороны, это множество $M$ а) содержит $K$, б) является подполугруппой — значит, оно содержит всевозможные произведения элементов из $K$ и, следовательно, $[K]\subseteq M$.

Доказывает ли это вашу теорему?

[AV_77]

monz в сообщении #643261 писал(а):

где именно можно посмотреть?

Каргаполов, Мерзляков, Теория групп.
Хотя Joker_vD вам уже написал решение.

[monz]

Joker_vD в сообщении #643271 писал(а):

Доказывает ли это вашу теорему?

Доказывает) Спасибо!

-- 11.11.2012, 21:33 --

AV_77 писал(а):

Каргаполов, Мерзляков, Теория групп.

Спасибо за наводку!