Проверьте, пожалуйста, правильно ли рассуждаю. Задача в общем-то простая, но думаю, доказательство у меня не строгое.
Задача: K - произвольное непустое подмножество полугруппы A. Доказать, что [K] есть пересечение всех подполугрупп, содержащих K.
Полугруппа - множество, в котором определено действие, обладающее свойствами неограниченной применимости и ассоциативности.
Подполугруппа - непустое подмножество полугруппы, замкнутое относительно действия.
[K] - множество, для которого K является порождающим. То есть элементы [K] - это всевозможные произведения элементов K.
Утверждения 1), 2) будем использовать без доказательств:
1) Для любого непустого подможества K полугруппы A множ-во [K] является подполугруппой.
2) Пересечение подполугрупп является подполугруппой.
Доказательство.
Пусть K содержат две (для простоты) подполугруппы B и С.
из 1)
Предположим, что
и рассмотрим
, иначе (используя 2) )
, что противоречит определению M. Таким образом, M является подполугруппой в A, которая не содержит K. Но по условию мы берем пересечение только тех подполугрупп, которые K содержат. Значит, M можно исключить из рассмотрения и получим, что доказываемое утверждение верно.