Ряд

[integral2009]

Подскажите, пожалуйста, каким признаком можно здесь воспользоваться?

Исследовать сходимость ряда с общим членом $a_n=\dfrac{1}{(\ln\ln n)^{\ln n}}\;\;\;\;n>1$

[ewert]

Перепишите знаменатель как $e$ в соответствующей степени и потом как $n$ в степени уж какая получится. Ответ будет определяться тем, как ведёт себя показатель над $n$ на бесконечности.

[integral2009]

ewert в сообщении #643063 писал(а):

Перепишите знаменатель как $e$ в соответствующей степени и потом как $n$ в степени уж какая получится. Ответ будет определяться тем, как ведёт себя показатель над $n$ на бесконечности.

$a_n=\dfrac{1}{e^{\ln n\cdot (\ln\ln n)}}=e^{-\ln n\cdot (\ln\ln n)}$

А как дальше?

[Sonic86]

integral2009 в сообщении #643076 писал(а):

А как дальше?

ewert в сообщении #643063 писал(а):

и потом как $n$ в степени уж какая получится.

[integral2009]

$a_n=\dfrac{1}{e^{\ln n\cdot (\ln\ln n)}}=\dfrac{1}{n^{\log_n( n\cdot (\ln\ln n))}}$

Но вот дальше -- не пойму как

[ewert]

integral2009 в сообщении #643085 писал(а):

$a_n=\dfrac{1}{e^{\ln n\cdot (\ln\ln n)}}=\dfrac{1}{n^{\log_n( n\cdot (\ln\ln n))}}$

Но вот дальше -- не пойму как

Во-вторых, это неверно. Во-первых (хотя это уже не так принципиально), и предыдущее преобразование тоже было неверным.

[mihailm]

integral2009 в сообщении #643076 писал(а):

$a_n=\dfrac{1}{e^{\ln n\cdot (\ln\ln n)}}=e^{-\ln n\cdot (\ln\ln n)}$

неудачно

[Whitaker]

Можно сделать так:

$$(\ln \ln n)^{\ln n}=n^{\log_n (\ln \ln n)^{\ln n}}=n^{\ln n \log_n(\ln \ln n)}=n^{\ln \ln \ln n}$$

Скажем начиная с номера $N_0=e^{e^{e^2}}$ и $\forall n>N_0$ будет $\ln \ln \ln n>2$, а отсюда $n^{\ln \ln \ln n}>n^2$.
Значит,

$$\frac{1}{n^{\ln \ln \ln n}}<\frac{1}{n^2}$$

Отсюда уже по признаку сравнения все получается.

[integral2009]

Whitaker в сообщении #643121 писал(а):

Можно сделать так:

$$(\ln \ln n)^{\ln n}=n^{\log_n (\ln \ln n)^{\ln n}}=n^{\ln n \log_n(\ln \ln n)}=n^{\ln \ln \ln n}$$

Скажем начиная с номера $N_0=e^{e^{e^2}}$ и $\forall n>N_0$ будет $\ln \ln \ln n>2$, а отсюда $n^{\ln \ln \ln n}>n^2$.
Значит,

$$\frac{1}{n^{\ln \ln \ln n}}<\frac{1}{n^2}$$

Отсюда уже по признаку сравнения все получается.

Спасибо А почему это вот так? $n^{\ln n \log_n(\ln \ln n)}=n^{\ln \ln \ln n}$

-- Вс ноя 11, 2012 18:23:22 --

ewert в сообщении #643102 писал(а):

Но вот дальше -- не пойму как

Во-вторых, это неверно. Во-первых (хотя это уже не так принципиально), и предыдущее преобразование тоже было неверным.[/quote]

Да, что-то наошибался=)

[Sonic86]

integral2009 в сообщении #643136 писал(а):

А почему это вот так? $n^{\ln n \log_n(\ln \ln n)}=n^{\ln \ln \ln n}$

Да сразу надо было: $(\ln\ln n)^{\ln n}=e^{\ln n \ln\ln\ln n}=n^{\ln\ln\ln n}$.
А чтоб в глазах не рябило, еще лучше так: $(\ln_2 n)^{\ln n}=e^{\ln n \ln_3 n}=n^{\ln_3 n}$.