Силовские подгруппы

[xmaister]

Найдите число силовских $p$-подгрупп группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$.

[fancier]

Для $n=2$ можно доказать, что число силовских $p$-подгрупп $n_p=1$.
Действительно, $| GL_2(\mathbb{Z}_p)|=(p^2-1)(p^2-p)=p(p-1)^2(p+1)\quad \Rightarrow\quad n_p|(p-1)^2(p+1)$; кроме того, $n_p\equiv 1 \mod p.$ Легко видеть, что строго верхние треугольные матрицы (с 1 на диагонали) образуют силовскую $p$-подгруппу. Также легко показать, что обратимые верхние треугольные матрицы, которых $p(p-1)^2$ штук, содержатся в ее нормализаторе. Таким образом, для индекса нормализатора (=$n_p$) остаются две возможности: $1$ и $p+1$, но первая отпадает, т.к. строго нижние треугольные матрицы -- еще одна силовская $p$-подгруппа.