И снова про критерий Неймана-Пирсона

[ShMaxG]

Верно ли следующее:

1. При определенных условиях критерий Неймана-Пирсона является оптимальным И не существует никакого другого критерия (с тем же уровнем значимости), мощность которого была бы равна мощности к. Н-П.

Пример. Пусть поставлена задача проверки простой гипотезы $\[{H_0}:{f_0}\left( x \right)\]$ против альтернативы $\[{H_1}:{f_1}\left( x \right)\]$, распределения абсолютно непрерывны, всюду $\[{f_i}\left( x \right) > 0\]$ для $i=0,1$. Пусть функция отношения правдоподобия также является абсолютно непрерывной сл.в. Тогда критерий Неймана-Пирсона для уровня значимости $\alpha$ задает некоторую критическую область $\[{\Omega _{NP}}\]$ такую, что для любого другого критерия с критической областью $\Omega$ уровня значимости $\alpha$, мощность $\[{\mathbf{P}}\left( {{\Omega _{NP}}|{H_1}} \right) > {\mathbf{P}}\left( {\Omega |{H_1}} \right)\]$.

2. Бывает и так, что и критерий Неймана-Пирсона оптимальный, и некоторый другой критерий (с тем же уровнем значимости) тоже оптимальный и их мощности равны.

Пример. Пусть по одному измерению требуется проверить гипотезу $\[{H_0}:U\left( {0,{\theta _0}} \right)\]$ против альтернативы $\[{H_1}:U\left( {0,{\theta _1}} \right)\]$, гипотезы простые и $\[{\theta _0} > {\theta _1}\]$. Пусть $\[\alpha < {\theta _1}/{\theta _0}\]$. Согласно критерию Неймана-Пирсона, рандомизирующая функция равна

$$\[\varphi \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{\alpha }{{{\theta _1}/{\theta _0}}},{\text{ }}x \in \left[ {0,{\theta _1}} \right] \hfill \\ 0,{\text{ }}x \in \left( {{\theta _1},{\theta _0}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Мощность данного критерия

$$\[{\mathbf{P}}\left( {{H_1}|{H_1}} \right) = \frac{\alpha }{{{\theta _1}/{\theta _0}}}\]$$

Теперь пусть критическая область задается в виде $\[\Omega = \left\{ {x:{\theta _1} > x > c} \right\}\]$. Из условия на уровень значимости $\alpha$ получаем $\[c = {\theta _1} - \alpha {\theta _0} > 0\]$. Таким образом, имеем нерандомизированный критерий с мощностью

$$\[{\mathbf{P}}\left( {{H_1}|{H_1}} \right) = \frac{\alpha }{{{\theta _1}/{\theta _0}}}\]$$

Таким образом, оба критерия оптимальны, потому что критерий Неймана-Пирсона оптимальный, а другой критерий имеет ту же мощность.

Возникает еще такой вопрос: в каких боле-менее общих случаях оптимальным является только критерий Неймана-Пирсона? (абсолютная непрерывность функции отношения правдоподобия?) И чем характерны ситуации, в которых оптимальных критериев может быть несколько? (м.б. рандомизированность критерия Н-П.?)

[ShMaxG]

В книжке ПСГ Лемана нашел, что наиболее мощный критерий определяется однозначно из соотношений

$$\[{{\mathbf{E}}_0}\varphi \left( X \right) = \alpha \]$$

и

$$\[\varphi \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,{\text{ }}{f_1}\left( x \right) > k{f_0}\left( x \right) \hfill \\ 0,{\text{ }}{f_1}\left( x \right) < k{f_0}\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

каждый раз, когда множество $\[{f_1}\left( x \right) = k{f_0}\left( x \right)\]$ имеет меру нуль.

[statistonline]

Если я правильно понял Ваш вопрос, то посмотрите вот тут: С.Уилкс Математическая статистика, гл. 13, раздел 13.6 (и особенно теоремы 13.6.1 и 13.6.2)

[--mS--]

ShMaxG в сообщении #642403 писал(а):

И чем характерны ситуации, в которых оптимальных критериев может быть несколько? (м.б. рандомизированность критерия Н-П.?)

Это возня на множестве, не заслуживающем разбирательств: на множестве, где отношение функций правдоподобия постоянно. Разумеется, его можно разбивать на куски, где принимается нулевая или первая гипотеза, по-разному. Лишь бы добавить до нужного размера критерия недостающую толику от вероятности $\mathsf P_{H_0}\left(\frac{f_1(\vec X)}{f_0(\vec X)} = k\right)$. Вот только ни одно разбиение этого множества на две части не имеет никаких разумных преимуществ перед иными разбиениями. Ровно поэтому и заводится рандомизация - чем разбивать область, в которой отношение прадоподобия постоянно, на части пропорционально недостающей доле ошибки первого рода, лучше завести дополнительный эксперимент, который отнесёт с нужной вероятностью точки этой области к той или иной гипотезе.

С точностью до этой области НМК определяется однозначно.

[ShMaxG]

Ясно, спасибо.