Обобщение преобразования Радона.

[Nimza]

Классическое преобразование Радона представляет собой интегральное преобразование, которое сопоставляет функции интеграл от неё по заданной гиперплоскости. Существует множество обобщений этого преобразования, в частности интересно обобщение, при котором функции сопоставляется интеграл по заданной гиперповерхности (аргументом у преобразованной функции является гиперповерхность). Пусть такая поверхность задаётся уравнением $g(x) = 0$, $x \in \mathbb{R}^n$. В определении явно задается дифференциальная форма, которую будем интегрировать (умноженную на некоторый "вес" и преобразуемую функцию):

$$ \Omega = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{\partial_{k} g}{|\nabla g|^2} dx_1 \wedge ... \wedge \overline {dx_k} \wedge ... \wedge dx_n $$

Легко проверить, что $dg \wedge \Omega = dx$. Возникает вопрос, почему выбирается именно эта дифференциальная форма? Какие приложения к ней приводят? (Вообще откуда она может возникнуть, подскажите, товарищи, близкие с дифференциальной и интегральной геометрией). Чем она так хороша?

[Nimza]

Достаточно интересная штука, оказывается, эта форма. У неё есть своё название: форма Гельфанда-Лере. Обозначается она как производная: $\frac{dx}{dg}$. Встречается она много где, например в обобщении теоремы Фубини на случай представления пространства в виде расслоения на гиперповерхности. От формы объёма отличается лишь множителем $\frac{1}{| \nabla g| }$.

[Elina_Sh]

Интересно, нашли ли Вы приложения, которые приводят к такой форме?