Периметры вложенных выпуклых фигур

[Профессор Снэйп]

1) Всегда ли для выпуклого ограниченного $A \subseteq \mathbb{R}^2$ определена длина границы $\partial A$ множества $A$?

2) Пусть $A \subseteq B$ - выпуклые и ограниченные подмножества плоскости, для которых определены длины границ. Всегда ли длина $\partial A$ не превосходит длины $\partial B$?

[Nemiroff]

Для первого можно попробовать порезать множество лучами из какой-нибудь точки внутри. Поглядеть на куски между лучами, как-то понять, что они (будучи отрезанными снизу) представляют собой график ограниченной непрерывной выпуклой функции (или вогнутой - вечно путаю). И вот она по какой-то причине спрямляема.

А для второго можно провести касательную через точку на границе подмножества (только чтоб она самому множеству не принадлежала). Она отрежет от внешнего множества кусок - получим новое множество, которое все еще содержит подмножество, а периметр у него меньше. Тра-ля-ля, бесконечная последовательность множеств - и, кажется, тут по определению длины кривой что-то можно получить.

Я бы как-то так думал.

[_Ivana]

Если удастся показать, что при данных условиях всегда можно ввести полярную систему координат, в которой границы множеств задаются как однозначные непрерывные функции угла, то 1) - непрерывная ограниченная функция на отрезке интегрируема, а 2) - интеграл от не большей на отрезке функции не больше соответствующего интеграла другой функции.

[ИСН]

Это Вы покажете, что площадь внешней фигуры больше, чем у вложенной.

[bot]

Ну а после этого аналоги верхнего и нижнего интегралов Дарбу, которые хочут совпасть.

[_Ivana]

ИСН, Вы меня таким образом если и не научите длины кривых вычислять, то уж набирать интергралы в ТЕХе точно
$L = \int {r(\phi)d\phi}$ в пределах от 0 до $2\pi$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #642622 писал(а):

1) Всегда ли для выпуклого ограниченного $A \subseteq \mathbb{R}^2$ определена длина границы $\partial A$ множества $A$?

Это смотря что понимать под длиной кривой. В традиционном жордановом понимании это супремум длин вписанных ломаных и, соответственно, существует (в смысле ограничен) -- попросту потому, что что любое такое множество тривиально ограничено прямоугольником (а конкретно для вписанных выпуклых ломаных монотонность длин -- факт совершенно деццкий).

Профессор Снэйп в сообщении #642622 писал(а):

Пусть $A \subseteq B$ - выпуклые и ограниченные подмножества плоскости, для которых определены длины границ. Всегда ли длина $\partial A$ не превосходит длины $\partial B$?

Соответственно, естественно. Ведь для любой ломаной, вписанной в $\partial A$, опять же совершенно по-деццки найдётся объемлющая её ломаная, вписанная в $\partial B$.

[ИСН]

_Ivana в сообщении #642689 писал(а):

$L = \int {r(\phi)d\phi}$

Что такое L?

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #642720 писал(а):

_Ivana в сообщении #642689 писал(а):

$L = \int {r(\phi)d\phi}$

Что такое L?

Да, кстати. Наверное, что-то интересное (раз написано), но уж точно не длина.

[_Ivana]

Как раз только что понял свою ошибку. Но раз спрашиваете - я назову это "тангенциальной составляющей длины кривой" Чтобы была длина, надо подынтегральную функцию поделить на косинус угла между направлением кривой и перпендикуляром к радиус-вектору.

[ИСН]

Так о то ж!

[ewert]

_Ivana в сообщении #642742 писал(а):

Чтобы была длина, надо подынтегральную функцию поделить на косинус угла между направлением кривой и перпендикуляром к радиус-вектору.

А ещё лучше вспомнить формулу, которую всех на всех экзаменах и от всех зубов зверски заставляют отскакивать: $L=\int\sqrt{r^2(\varphi)+\left(r'(\varphi)\right)^2}\,d\varphi.$ И которая довольно тривиально следует просто из теоремы Пифагора (естественно, в предположении гладкости кривой).

Впрочем, к стартовому посту это никаким боком не прислоняется.

[ex-math]

ewert в сообщении #642716 писал(а):

существует (в смысле ограничен) -- попросту потому, что что любое такое множество тривиально ограничено прямоугольником...
...для любой ломаной, вписанной в $\partial A$, опять же совершенно по-деццки найдётся объемлющая её ломаная, вписанная в $\partial B$.

И как же из соотношения площадей, коим является "ограниченность прямоугольником" и "объемлющесть", следует соотношение периметров? Разве не бывает ограниченных множеств с бесконечным периметром?
Здесь надо существенно использовать выпуклость. Мне мысль Nemiroff понравилась, с касательными.

[ewert]

ex-math в сообщении #642876 писал(а):

И как же из соотношения площадей, коим является "ограниченность прямоугольником" и "объемлющесть", следует соотношение периметров? Разве не бывает ограниченных множеств с бесконечным периметром?
Здесь надо существенно использовать выпуклость.

Естественно, надо. А поскольку в этой теме выпуклость заранее подразумевалась -- монотонная зависимость длин ломаных от вложенности тривиальна.

[ex-math]

Прошу извинить, если я в упор чего-то не вижу. Поясните эту тривиальность, пожалуйста.
Переход от произвольного множества к многоугольному --- да, тривиален. Но монотонную зависимость периметра от вложенности что-то никак не угляжу. Здесь как-то еще замкнутость ломаной должна быть задействована.