Расширение понятия числа

[Простак]

Мне при переводе с немецкого языка одной научно-популярной книги по физике и математике встретилась следующая фраза(речь непо-
средственно перед этим шла о первом употреблении Кардано комплексных чисел в качестве корней "нерешаемых" квадратных уравнений.Эти числа он называл "софистическими":
"Даже не кто иной, как Лейбниц, объявил их в 1702 году "уродами в мире мысли". Должны были пройти столетия, пока Ганкель в 1867 году не сформулировал путеводный принцип, известный под названием "годогетический принцип непрерывности", согласно которому для алгебраических вычислений, конечно, в случае их выполнимсти, безразлично, производятся ли они над действительными, комплексными, над целыми или рациональными числами!"
Вопрос у меня такой: что означает фраза "конечно, в случае их выполнимости". Уж наверняка не невозможность извлечения корня квадратного из отрицательного числа.Но тогда, что же?
И ещё вопрос: если, согласно принципу непрерывности, для алгебраических вычислений безразлично, над какими объектами они производятся, то почему это гарантирует
"легитимность" самих объектов? Что всё-таки является критерим их "легитимности"? Ведь нельзя же объекты вычислительных операций брать совершенно произвольно!

[PAV]

Отделено в самостоятельную тему

[Capella]

Простак писал(а):

"Даже не кто иной, как Лейбниц, объявил их в 1702 году "уродами в мире мысли". Должны были пройти столетия, пока Ганкель в 1867 году не сформулировал путеводный принцип, известный под названием "годогетический принцип непрерывности", согласно которому для алгебраических вычислений, конечно, в случае их выполнимсти, безразлично, производятся ли они над действительными, комплексными, над целыми или рациональными числами!"
Вопрос у меня такой: что означает фраза "конечно, в случае их выполнимости". Уж наверняка не невозможность извлечения корня квадратного из отрицательного числа.Но тогда, что же?

Например деление на "0". Например множество комплексных чисел $\mathbb{C} \ne \hat{\mathbb{C}}$ Вообще пространство комплексных чисел не может быть компактифицировано. Это будет означать расширение самого $\mathbb{C}$ до $\infty$. Есть следующее построение $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty$ и по немецки называется Riemannsche Zahlenkugel. В отличии от $\mathbb{C}$ не является полем.

[Простак]

Уважаемый Capella!

Большое спасибо за ответ.В отношении деления на 0 я,конечно, предполагал.