Сходимость ряда

[oleg-oleg]

Какой здесь признак можно использовать для исследования сходимости?

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big( \ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}\;\;-\;\;\sin\dfrac{\pi n}{2n+1}\Big)$

[Mitrius_Math]

Предельный признак сравнения.

[oleg-oleg]

Mitrius_Math в сообщении #642218 писал(а):

Предельный признак сравнения.

Спасибо. А с чем сравнивать? Была мысль разбить 2 ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big( \ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}\;\;-\;\;\sin\dfrac{\pi n}{2n+1}\Big)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big( \ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}\Big)-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big( \sin\dfrac{\pi n}{2n+1}\Big)$

Если оба ряда сойдутся, то сойдется и исходный. Если один сойдется, а другой разойдется, то исходный разойдется. Если оба разойдутся -- то это еще ни о чем не говорит.

А сравнивать каждый из двух рядов можно с $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{x^p}$ , но вот как этот $p$ подобрать - из каких соображений?

[ИСН]

Ну разбейте, покрутите эти ряды в руках, посмотрите на них по отдельности, ну.

[oleg-oleg]

ИСН в сообщении #642235 писал(а):

Ну разбейте, покрутите эти ряды в руках, посмотрите на них по отдельности, ну.

А как крутить? Я уже посмотрел... Есть только идея - взять пролопиталить!

[ИСН]

Что Вы собрались лопиталить (ни один из общих членов не имеет вида дроби), и - зачем? Но неважно, делайте, делайте что-нибудь.

[Whitaker]

Можно так сделать:
в котангенсе и синусе выделить "целую часть" и разложить по Тейлору каждую из них с соответствующим остатком и уже дальше понятно.
Пример стандартный из теории рядов.

[oleg-oleg]

Сравним $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big( \ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}\Big)$ с $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{x^p}$, используя предельный признак сравнения

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{ \ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}}{\dfrac{1}{n^p}}$

Вот здесь хотел Лопиталить. Поможет?

[Whitaker]

$$\sin \left(\dfrac{\pi n}{2n+1}\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2(2n+1)}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2(2n+1)}\right)=1-\dfrac{\pi^2}{4(2n+1)^2}+O\left(\dfrac{\pi^2}{4(2n+1)^2}\right)=$$

$$=1-\dfrac{\pi^2}{4(2n+1)^2}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right),$$

где $O(f)$ - о-большое символика.
Для котангенса аналогичные рассуждения и дальше там уже все понятно.

[oleg-oleg]

Спасибо, а аналогичные - это такие или нет?

$\ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}=\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi n}{4n-2}\Big)=\tg\Big(\dfrac{\pi (n-1)}{4n-2}\Big)$

$\tg\Big(\dfrac{\pi (n-1)}{4n-2}\Big)=\dfrac{\pi (n-1)}{4n-2}+O\left(\dfrac{1}{n^3}\right)$

[ИСН]

Первое верно, но откуда ВНЕЗАПНО взялось второе?

[oleg-oleg]

ИСН в сообщении #642302 писал(а):

Первое верно, но откуда ВНЕЗАПНО взялось второе?

Может вот так?

$\ctg\dfrac{\pi n}{4n-2}=\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi n}{4n-2}\Big)=\tg\Big(\dfrac{\pi (n-1)}{4n-2}\Big)=\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}\cdot\dfrac{4 n-4}{4n-2}\Big)=$

$=\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}\cdot\dfrac{4 n-2-2}{4n-2}\Big)=\tg\Big(\dfrac{\pi}{4} -\dfrac{\pi}{8n-4}\Big)$

Выделил целую часть, а как дальше?

[ИСН]

Как угодно. "Пилите, Шура, пилите: они золотые." Кто здесь большой? Кто здесь маленький? Кто здесь постоянный?

[oleg-oleg]

ИСН в сообщении #642349 писал(а):

Как угодно. "Пилите, Шура, пилите: они золотые." Кто здесь большой? Кто здесь маленький? Кто здесь постоянный?

Постоянна половина прямого угла, а $\alpha=\dfrac{\pi}{8n-4}$ - маленькое при большом $n$

-- 10.11.2012, 00:52 --

Вот так пилить? $\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \dfrac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta}$

[ИСН]

Можете так, можете просто словесно: к чему стремится малая величина? а большая? а всё вместе?

-- Сб, 2012-11-10, 02:20 --

глазами же всё очевидно с самого начала, ну.