Открытые подмножества в $\mathbb{R}^n$

[Профессор Снэйп]

Тривиальный вроде факт, а забыл, как доказывать.

Пусть $U \subseteq \mathbb{R}^n$ и для любых $u \in U$, $r \in \mathbb{R}^n$ существует $\varepsilon > 0$ такое, что отрезок $[u, u + \varepsilon r]$ целиком лежит в $U$. Другими словами, пересечение $U$ с любой прямой есть открытое подмножество этой самой прямой. Надо доказать, что $U$ открыто.

[ewert]

Выкиньте из плоскости, скажем, окружность и добавьте потом какую-нибудь точку из этой окружности.

[Профессор Снэйп]

Хм... В самом деле, факт оказался просто неверным

-- Чт ноя 08, 2012 17:46:19 --

Но откуда тогда стойкое ощущение, что нечто подобное должно иметь место в конечномерных пространствах? Может, какие-нибудь условия дополнительные забыл?

-- Чт ноя 08, 2012 17:50:21 --

А вот интересно, если $U \subseteq \mathbb{R}^3$ таково, что его пересечение с любой плоскостью будет открытым подмножеством плоскости... Обязано ли в этом случае $U$ быть открытым? Выкидывание из $\mathbb{R}^3$ сферы и добавление чего-нибудь к выкинутому теперь вроде не помогает

[Профессор Снэйп]

А, ну да, там ту же окружность без точки можно выкинуть.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #641626 писал(а):

А, ну да, там ту же окружность без точки можно выкинуть.

Хуже того -- там даже и сфера в этом отношении ничуть не хуже окружности.

Вообще не важна форма/размерность; достаточно лишь с соотв. оговорками строгой выпуклости.

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #641497 писал(а):

Другими словами, пересечение $U$ с любой прямой есть открытое подмножество этой самой прямой. Надо доказать, что $U$ открыто.

выпуклости $U$ не хватает в условии. Думаю, что это утверждение верно во всяком бочечном пространстве

[Профессор Снэйп]

Oleg Zubelevich в сообщении #641879 писал(а):

Думаю, что это утверждение верно во всяком бочечном пространстве

Ну да, в $\mathbb{R}^n$ из выпуклости действительно следует то, что надо.

А что значит бочечное пространство, я до конца не понял. Хотя мне показалось, что термин был придуман ради этой задачи. Типа нормированное пространство называется бочечным, если все выпуклые $U$, для которых выполняются условия этой задачи, открыты

Много их там, кстати, бочечных будет среди бесконечномерных?

[Oleg Zubelevich]

локально-выпуклое пространство называется бочечным если каждое замкнутое уравновешенное выпуклое поглащающее множество является окрестностью нуля. Все банаховы пространства бочечны. Но, кажется , моя гипотеза не верна

[Профессор Снэйп]

А что значит локально выпуклое?

[Oleg Zubelevich]

это значит, что существует базис выпуклых окрестностей нуля