53 Всеукраинская олимпиада 2012-2013 г. (из области)

[Kid_Dynamite]

Ну вот число $2^{45}$ оканчивается на $2$
Это я знаю.
Но не понимаю как она связана с последней цифрой числа $2^{45}A$

[DjD USB]

Keter в сообщении #641851 писал(а):

Цитата:

Во второй очевидно нужно решить равенство . А точнее доказать что это уравнение не имеет решений в целых.

Именно это я и имел ввиду под "задача элементарнейшая". А зачем два раза?

Цитата:

в какой степени простое число входит

Не понял

1)Извините, не знаю почему два раза. Само написалось .
2)Есть формула для нахождения в какой степени простое число входит в n!. Вот эта формула:
$[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+...+[\frac{n}{p^k}]=m$. В нашем случае $m=12$
Ну естественно когда-то целая часть будет равна нулю.

-- Пт ноя 09, 2012 13:55:37 --

Ну и потом из свойства делимости на 8 получаем что 1-я из 3-х цифр это 8.

[Shadow]

DjD USB, все числа 200,400,600,800 делятся на 8

[DjD USB]

Да, Shadow , вы правы. Тогда, лучше в прошлых сообщениях посмотреть, что народ пишет.

[Ktina]

Keter в сообщении #641763 писал(а):

2. Доказать, что число $2013$ не является разностью кубов двух натуральных чисел.

DjD USB в сообщении #641789 писал(а):

Во второй очевидно нужно решить равенство $x^3-y^3=2013$. А точнее доказать что это уравнение не имеет решений в целых

Мне категорически не нравится авторское решение. Автор предлагает воспользоваться тождеством
$a^3-b^3=(a-b)((a-b)^2+3ab)$
Однако, число 2013 даёт остаток 4 при делении на 7, а кубы могут давать только остатки 0, 1 или 6 при делении на 7. Таким образом, разность кубов может давать лишь остатки 0, 1, 2, 5 или 6 при делении на 7.

[Shadow]

Ktina в сообщении #665398 писал(а):

Мне категорически не нравится авторское решение. Автор предлагает воспользоваться тождеством

Тождество категорически показывает, что если разность кубов делится на 3, то делится и на 9.

[Ktina]

Shadow в сообщении #665403 писал(а):

Ktina в сообщении #665398 писал(а):

Мне категорически не нравится авторское решение. Автор предлагает воспользоваться тождеством

Тождество категорически показывает, что если разность кубов делится на 3, то делится и на 9.

Слишком много крови. Остатки на 7 -- сразу нокаут и следов не остаётся.