Целые кольца

[ggreenbr]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:

Пусть кольцо $B$ цело над $A$ и $f : A \rightarrow K$ - гомоморфизм в алгебраически замкнутое поле $K$. Нужно показать, что $f$ продолжается до гомоморфизма из $B$ в $K$.

Заранее благодарен!

[fancier]

ggreenbr в сообщении #640224 писал(а):

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:

Пусть кольцо $B$ цело над $A$ и $f : A \rightarrow K$ - гомоморфизм в алгебраически замкнутое поле $K$. Нужно показать, что $f$ продолжается до гомоморфизма из $B$ в $K$.

Заранее благодарен!

$P=\ker f$ -- простой идеал в $A$ $\Rightarrow\; \exists$ простой $Q\subset B$ такой что $Q\cap A=P$. Гомоморфизм $A/P\rightarrow K$ -- инъективный $\Rightarrow$ он продолжается на $L=Quot(A/P)$. Пусть $F=Quot(B/Q)$, тогда $F$ -- алгебраическое расширение $L$. Так как $K$ -- алгебраически замкнуто, по известной теореме гомоморфизм $L\rightarrow K$ продолжается до $F\rightarrow K$. Тогда искомое продолжение есть композиция $B\rightarrow B/Q\subset F\rightarrow K.$

[ggreenbr]

Спасибо за помощь! Не понял, почему $F$-- алгебраическое расширение $L$.
Вы упомянули "известную теорему". Где ее можно найти?

[fancier]

ggreenbr в сообщении #641809 писал(а):

Спасибо за помощь! Не понял, почему $F$-- алгебраическое расширение $L$.
Вы упомянули "известную теорему". Где ее можно найти?

1.$ A\subset B$ -- целое расширение колец $\Rightarrow$ $Quot(A)\subset Quot(B)$ -- алгебраическое расширение полей.

Пусть $u\neq 0\in B\; \Rightarrow \; u^n+a_1u^{n-1}+\ldots + a_{n-1}u+a_n=0,\; a_i\in A.$ Теперь умножая последнее соотношение на $u^{-1}$ в $Quot(B)$, получаем что $a_nu^{-1}\in B.$ Другими словами, для любого $\forall u\neq 0\in B\; \exists a\neq 0\in A$ такой что $au^{-1}\in B.$

Пусть $v\in B$, тогда $\frac{v}{u}=\frac{(au^{-1})v}{a}=\frac{w}{a},\; w\in B.$ Если $w^m+b_1w^{m-1}+\ldota + b_{m-1}w+b_m=0,$ то $(\frac{w}{a})^m+\frac{b_1}{a}(\frac{w}{a})^{m-1}+\ldots +\frac{b_{m-1}}{a^{m-1}}(\frac{w}{a})+\frac{b_m}{a^m}=0,$ т.е. $\frac{w}{a}$ алгебраичен над $Quot(A).$

2. Например, в книге С. Ленга "Алгебра".