Определние частной производной

[xmaister]

ewert в сообщении #641455 писал(а):

Формально это необязательно, если речь идёт об именно частных производных.

Хорошо, а тогда на каком множестве достаточно определить функцию, чтобы рассматривать частную производную этой функции в точке этого множества?

ewert в сообщении #641455 писал(а):

Это ведь неверно уже даже в одномерном случае.

А какой пример? Я что-то не вижу.

[ewert]

xmaister в сообщении #641464 писал(а):

А какой пример? Я что-то не вижу.

Икс в кубе, скажем.

xmaister в сообщении #641464 писал(а):

на каком множестве достаточно определить функцию, чтобы рассматривать частную производную этой функции в точке этого множества?

Всего лишь на соответствующей координатной прямой.

[xmaister]

xmaister в сообщении #640341 писал(а):

Пусть $U\subset\mathbb{R}^n$- открытое множество. Положим, что $f:U\to\mathbb{R}$- некоторая функция и пусть $x\in U$. $r_i:U\to\mathbb{R}$- ограничение $p_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ на $U$, где $p_i$- естественная проекция, $i=1,2,\ldots ,n$. Рассмотрим функцию $g_x(h):V\to\mathbb{R}$, $g_{x,i}(h)=\frac{f(x_1,\ldots ,x_i+h,\ldots ,x_n)-f(x)}{h}$, $V=r_i(U)\setminus\{x_i\}-x_i$- открытое, причем $0$- предельная для $V$. Тогда, если существует предел $\lim\limits_{h\to 0}g_{x,i}(h)$, то он будет частной производной $f:U\to\mathbb{R}$ по $r_i$. Я правильно понял определение частной производной?

Я тут прокололся, $g_x$ может быть не определена на всём $V$. Как выбрать правильно область определения $V$?

ewert в сообщении #640368 писал(а):

Почему бы не сказать по-человечески: частная производная -- это производная по одной из переменных при условии, что остальные считаются фиксированными?

А какие тогда брать область определения и область значения этого отображения $f$?

[xmaister]

Пусть $f:U\to\mathbb{R}^n$, $U\subset\mathbb{R}^m$- открытое. Как понимать, что $f$ разлагается в сходящийся степенной ряд в $U$