Количество натуральных чисел

[dydx]

Смотрю аксиомы Пеано. И нигде не вижу утверждения, что для любого натурального числа существет следующее за ним число. Значит возможен вариант арифметики с конечным числом натуральных чисел. Prove me wrong.

[atlakatl]

dydx в сообщении #641420 писал(а):

Значит возможен вариант арифметики с конечным числом натуральных чисел

Конечно. Например, для человека с испорченной кредитной историей.

[dydx]

Идем дальше. В такой арифметике можно даже доказать, что теорема Гудстейна не верна. Возьмем самое большое натуральное число. Если это число больше трех, то второе число в последовательности Гудстейна для этого числа будет больше этого числа. Чего не может быть. Если наибольше число равно трем, то последовательность Гудстейна для него закончится на основании 3 и значении 3. Аналогично для двойки. Значит не все последовательности Гудстейна заканчиваются нулем.

-- 08.11.2012, 12:03 --

Идем еще дальше. В такой арифметике невозможна нумерация Гёделя. Просто потому, что чисел данной арифметики не хватит для нумерации всех правильно построенных формул этой арифметики. Значит и теорема Гёделя о неполноте не факт, что верна по отношению к этой арифметике.

[dydx]

http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms писал(а):

Axioms 1, 6, 7 and 8 imply that the set of natural numbers contains the distinct elements 0, S(0), S(S(0)), and furthermore that {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N. This shows that the set of natural numbers is infinite.

А если функция S имеет значение не для всех натуральных чисел? Вдруг найдется натуральное число $n$, для которого $S(n)$ просто не существует? Ведь нету же аксиомы, которая бы гарантировала, что оно существует.

-- 08.11.2012, 12:44 --

Шестая аксиома

http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms писал(а):

For every natural number n, S(n) is a natural number.

не утверждает, что это $S(n)$ обязательно существует. Она утверждает, что если $S(n)$ существует, то оно является натуральным числом.

[migmit]

dydx в сообщении #641445 писал(а):

А если функция S имеет значение не для всех натуральных чисел?

Не хотите для начала ознакомиться с определением понятия "функция"?

[dydx]

migmit
Я с ним знаком. А что не так?

[migmit]

dydx в сообщении #641451 писал(а):

migmit
Я с ним знаком. А что не так?

Были бы знакомы - не задавали бы таких вопросов.

[dydx]

migmit
Вот и поговорили.

-- 08.11.2012, 13:29 --

Я все правильно сказал, потому что нигде не утверждается, что S всюду определенная на множестве натуральных чисел функция.

[migmit]

dydx в сообщении #641456 писал(а):

migmit
Вот и поговорили.

-- 08.11.2012, 13:29 --

Я все правильно сказал, потому что нигде не утверждается, что S всюду определенная на множестве натуральных чисел функция.

И ещё раз посоветую узнать определение функции, хотя бы в той же википедии.

[Xaositect]

dydx в сообщении #641456 писал(а):

Я все правильно сказал, потому что нигде не утверждается, что S всюду определенная на множестве натуральных чисел функция.

Вообще-то общепринятое соглашение как раз обратное --- если нигде не сказано, что функция частичная, то она считается всюду определенной.

[dydx]

migmit
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function

-- 08.11.2012, 13:41 --

Xaositect в сообщении #641469 писал(а):

Вообще-то общепринятое соглашение как раз обратное --- если нигде не сказано, что функция частичная, то она считается всюду определенной.

Так про область определения функции S вообще ничего не сказано. И тем более не сказано, что её областью определения является множество всех натуральных чисел. Чтобы это было так, нужна еще одна аксиома, которая бы это утверждала.

[Toucan]

dydx в сообщении #641420 писал(а):

Смотрю аксиомы Пеано.

dydx, приведите в теме список аксиом Пеано, которые Вы "смотрите" (с указанием источника).

[dydx]

Toucan

http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms писал(а):

1. 0 is a natural number.
2. For every natural number x, x = x. That is, equality is reflexive.
3. For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x. That is, equality is symmetric.
4. For all natural numbers x, y and z, if x = y and y = z, then x = z. That is, equality is transitive.
5. For all a and b, if a is a natural number and a = b, then b is also a natural number. That is, the natural numbers are closed under equality.
6. For every natural number n, S(n) is a natural number.
7. For every natural number n, S(n) = 0 is false. That is, there is no natural number whose successor is 0.
8. For all natural numbers m and n, if S(m) = S(n), then m = n. That is, S is an injection.
9. If K is a set such that:
0 is in K, and
for every natural number n, if n is in K, then S(n) is in K,
then K contains every natural number.

[Nemiroff]

dydx в сообщении #641445 писал(а):

не утверждает, что это $S(n)$ обязательно существует. Она утверждает, что если $S(n)$ существует, то оно является натуральным числом.

А по-моему, как раз утверждает. Потому что "если существует" оговаривается отдельно.

[Xaositect]

dydx в сообщении #641470 писал(а):

Так про область определения функции S вообще ничего не сказано. И тем более не сказано, что её областью определения является множество всех натуральных чисел. Чтобы это было так, нужна еще одна аксиома, которая бы это утверждала.

Там чуть выше написано, что $S$ входит в сигнатуру теории, а это значит, что применять ее можно к любому терму.
У самого Пеано в "Arithmetices principia ..." вместо $S$ используется $+1$ и в предисловии написано, что $+a$ --- это функция на натуральных числах