Интегральное уравнение (?)

[ursa]

Дано уравнение

0=$E^2 - \omega_{c}^{2} -2\omega_{c}\int\limits_{-1}^{1}\left{\frac{1-n}{E -\varepsilon - \varepsilon_f}\left(\frac{1}{\exp{\beta\varepsilon} +1} + \frac{1}{\exp{\beta\varepsilon_{f}} +1} \right) + \frac{n}{E -\varepsilon + \varepsilon_f + U}\left(\frac{1}{\exp{\beta\varepsilon} +1} + \frac{1}{\exp{\beta\varepsilon_{f} + U} +1} \right)\right}d\varepsilon
где неизвестная величина $E$ (все остальные параметры заданы)

Если интеграл был бы "берущимся", то было бы хорошо)) Но я не вижу, как его взять, также не нашла его в таблицах интегралов (справочник Градштейна и Рыжика), Mathematica так же считает его только численно (то есть при заданном $E$)
То есть, получается, я имею дело с интегральным уравнением что ли? Если да, то, подскажите, пожалуйста, к какому типу оно относится и как подступиться к его решению (можно в Mathematica)

[Алексей К.]

ursa в сообщении #640095 писал(а):

$\int\limits_{1}^{1}\ldots$

Зачем Вы вставили такой сложный интеграл, очевидно, равный нулю?
Или я чего-то не понял? Буду ещё перечитывать...

[ursa]

Там опечатка. Должно быть от $-1$ до $1$ (сейчас исправлю) (а вообще от $-W$ до $W$, но в моем случае $W = 1$).

[cool.phenon]

По определению, интегральное уравнение-функциональное уравнение. Судя по всему, $E$- просто переменная. Поэтому это никак не интегральное уравнение.

[ursa]

Я это подозревала... :) и Слава Богу)
Но, что делать, то есть как эту переменную вытащить с этого "неберущегося" (по крайней мере у меня :)) интеграла, вот в чем вопрос... И надо ли это делать для решения уравнения? (

П. С. (редактировано)
Хотя $E$ можно считать функцией от $T$ ($\beta = 1/k T$) и от $\omega_c$. Именно эти зависимости мне и необходимо построить.
Я просто думала делать это "поточечно", то есть считать E, последовательно задавая множество близких значений T из определенного промежутка, и по точкам уже интерполировать зависимость.

[Алексей К.]

Численно порешать. Чем не устраивает?
Если это что-то "теоретическое", то как бы достаточно поисследовать существование, единственность и прочая. Что при таком количестве всяких констант (о которых стороннему наблюдателю мало чего известно) представляется больно муторным занятием.

[ursa]

Численно не устраивает тем, что в интеграле E не имеет численного значения :)
Параметров не так уж и много.
$T$ - близко к $0$, $ k = 8,617\cdot 10^{-5}$ - постоянная Больцмана.
$\varepsilon_f = -0.5, U=6, \omega_c = 600$, например.
Выражение для $n$, правда, содержит $\exp{(-\beta)}=\exp{-\frac{1}{k T}}$ и при малых температурах равно примерно 0,5 (если задавать T). А задавать все-таки, по-видимому, нужно, так как уравнение не интегральное ($E$ не функция от переменной интегрирования $\varepsilon$ и Т не переменная интегрирования :) )

Подумаем, что можно сделать. Спасибо :)

[ursa]

А, если предположить, что это все-таки интегральное уравнение в неявном виде, то есть $E$ зависит от $\varepsilon$, и искомая функция - $E(\varepsilon)$

(со значением $\varepsilon$ потом разберемся))

[cool.phenon]

Ну тогда будет интегральное уравнение Урысона, при определённых условиях решается методом последовательных приближений.

[saygogoplz]

Я так понимаю это уравнение на параметр $E$, возникающее при описании конкретного физического процесса (статистической системы). Что тут следует сделать -- надо разложить в ряд по степеням $T$, ибо оно у нас мало, и последовательно находить поправки к $E$. Ну а если Вы хотите найти зависимость для любой температуры, то только численно решать уравнение, хотя не думаю что от Вас требуют численного решения. Поэтому, если не знаете как разложить по $T$ и учитывать поправики, советую почитать ЛЛ том 5. А вообще желательно понять сначала, какой процесс описывает эта штука, да и физ смысл всех констант, в частности той самой $E$.

[ursa]

saygogoplz
Правильно понимаете.
Разложить по Т я, кстати, тоже думала... Спасибо, с уверенностью будем пробовать)
Численно считать можно...
cool.phenon
Спасибо. Буду разбираться :)