неравенство Туймаады 2005

[iknow]

ни в какую не хочет получиться.
Пусть $a, b, c$ - положительные действительные числа такие, что $a^2+b^2+c^2=1$. Докажите:
$\sum\ \frac{a}{a^3+bc}>3$

[Dan B-Yallay]

И чего тут суммируется?

[Евгений Машеров]

Вероятно, по всем перестановкам $a, b, c$?
Иначе оно попросту неверно...

[iknow]

Dan B-Yallay
Евгений Машеров
$\Leftrightarrow$
$\frac{a}{a^3+bc} + \frac{b}{b^3+ac} + \frac{c}{c^3+ab} > 3$

[Евгений Машеров]

Ну, раз у Вас сумма трёх величин должна быть больше трёх, то, значит, больше единицы должна быть их средняя арифметическая. А чтобы это доказать, можно доказать, что больше единицы их средняя геометрическая, средняя арифметическая точно будет больше. А ещё можно доказывать, что средняя геометрическая обратных величин будет меньше единицы. Или просто перемножить, не утруждая корнем кубическим.

[nnosipov]

Здесь было неверное утверждение.

[Sender]

nnosipov в сообщении #641057 писал(а):

рассмотрите $a=b=1/\sqrt{2}$, $c=0$.

Хм, 4>3 - неравенство выполняется.

[nnosipov]

Sender в сообщении #641061 писал(а):

Хм, 4>3 - неравенство выполняется.

О, пардон, это у меня со зрением что-то --- тройку за двойку принял.

[iknow]

nnosipov
Ваша ссылка не открывается у меня :(
но
<a href="http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%B0%D0%B4%D0%B0_%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%C2%AB%D0%A2%D1%83%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%B0%D0%B4%D0%B0-2005%C2%BB"> Здесь </a> она дана так, как я вам показал.

-- 07.11.2012, 15:02 --

а, все. и я учел...

[nnosipov]

iknow, извиняюсь, я действительно плохо разглядел, Вы условие задачи привели верно.