Dialectic писал(а):
Определим множество М - как множество состоящее из всех бесконечных множеств. Поскольку бесконечных множеств существует бесконечное количество, то множество М-обладает тем свойством, что оно содержит бесконечное количество элементов, следовательно множество М должно быть включено в множество М как элемент!
Dialectic писал(а):
Где конкретно в приведёном примере противоречие? То что, в той или иной аксиоматической теории может возникнуть противоречие,ещё не означает, что конретный пример приведённый Пенроузом противоречив.
Вас интересует противоречие в этой конструкции? No problem, как говорится
Рассмотрим множество

всех бесконечных подмножеств

. Так как

есть совокупность всех бесконечных множеств, а

состоит только их бесконечных множеств, то

. Пусть теперь
Так как

, то

и либо

конечно, либо

.
Покажем, что предположение

приводит к противоречию. Допустим, что

. Тогда либо

, либо

. Если

, то по определению

справедливо

, поскольку мы включаем в

только те элементы

, которые не являются элементами самих себя. Если же

, то множество

должно принадлежать себе как элемент множества

, не принадлежащий себе, то есть должно быть выполнено

. В обоих вариантах противоречие налицо.
Осталось показать, что

не может быть конечным. Предположим противное и пусть

для некоторого

.
Так как

бесконечно, то можно найти бесконечную последовательность

различных элементов из

. Пусть теперь
и
Пусть также
Каждый

является бесконечным подмножеством

и, значит,

.
Пусть
и
Так как

, то

и

. Значит, либо

, либо

.
Однако если

, то

для некоторого

. Но тогда
и

. Противоречие. Если же

, то

для некоторого

и
так что

. Опять противоречие!
P. S. В заключение присоединяюсь к пожеланию
Brukvalub: не читайте плохих книжек!!!