Плоский маятник

[dovlato]

В плоском теле имеются три дырочки с известными координатами.
При подвешивании за эти дырки частота малых колебаний оказалась одинаковой.
Требуется найти координаты центра масс. Имеет ли задача однозначное решение?
Каково максимальное число дырочек, дающих определённую частоту, если они лежат на одной прямой?
Зависит ли это число от частоты (для данного плоского тела).

[ewert]

dovlato в сообщении #640362 писал(а):

Требуется найти координаты центра масс. Имеет ли задача однозначное решение?

Нет, решений может быть вплоть до тринадцати (если не сбился со счёту).

dovlato в сообщении #640362 писал(а):

Каково максимальное число дырочек, дающих определённую частоту, если они лежат на одной прямой?

Смотря какую частоту -- слишком большие частоты попросту нереализуемы. Гарантированно дают лишь две точки. Три или четыре точки дают почти всегда, кроме одного исключительного случая (когда частота максимально возможна). Пять уже не смогут дать никогда.

Впрочем, всё зависит ещё и от формы тела и от распределения плотности: трудно ведь сверлить дырки в пустоте, а держаться за них и вовсе неудобно.

[dovlato]

Сверлить дырки в пустоте как раз легко и приятно. Проблема в другом - как потом подвесить).
У меня другое количество дырок. Во-первых, все дырки, находящиеся на каком-либо одинаковом
расстоянии от центра масс, будут давать одинаковую частоту (!). Уже бесконечность.
Причём они не зависят от формы тела!!
Мало того, любая окружность, кроме той, что даёт максимальную частоту - имеет себе пару с той же частотой.

[ewert]

dovlato в сообщении #640409 писал(а):

Во-первых, все дырки, находящиеся на каком-либо одинаковом
расстоянии от центра масс, будут давать одинаковую частоту (!). Уже бесконечность.

Ага, и все они -- на одной прямой. Вы о каком конкретно вопросе-то?...

Вообще следовало бы формулировать вопросы чётче и аккуратнее.

dovlato в сообщении #640409 писал(а):

Мало того, любая окружность, кроме той, что даёт максимальную частоту - имеет себе пару с той же частотой.

Разумеется. Именно поэтому возможно три или четыре, но не пять. И именно поэтому вариантов в предыдущем вопросе -- до тринадцати.

[Батороев]

Как я понял условие...

При подвешивании за три точки, не лежащие на одной прямой с центром масс, пересечение вертикалей, проведенных их этих точек, однозначно покажет центр масс, т.е. каким способом не находился бы ЦМ, всегда должно быть единственное решение.
При варианте, когда все три точки лежат на одной прямой с центром масс, количество решений, по-видимому, будет три, т.к. одна из точек должна быть центром качания для одной из двух оставшихся. Для третьей необходимо просверлить еще одну дырочку (центр качания) и тогда на прямой дырдочек будет четыре. И это количество, на мой взгляд, от частоты не зависит (лишь бы колебания были малыми).

[dovlato]

Батороев: если точки не на одной прямой, то в принципе возможны следующие варианты.
Либо частота окажется максимальной, и тогда точки все на одной-единственной такой окружности; решение единственно.
Либо - частота не максимальная. Для каждой такой частоты существует пара концентрических окружностей, любая точка которых может служить точкой подвеса (и будет давать одну и ту же частоту).
Так вот, если все 3 дырки - на одной такой окружности, то решение верное. Но. Три точки могут ведь расположиться и на обеих окружностях, а мы этого не знаем. То-есть тут 4 варианта, условно их обозначим так: (3, 0);(2, 1);(1, 2);(0, 3).

[Батороев]

dovlato
Я предположил, что нижеприведенное:

dovlato в сообщении #640362 писал(а):

Требуется найти координаты центра масс. Имеет ли задача однозначное решение?

относится к единственности определения положения центра масс.

[dovlato]

Рисуя окружности, приходишь к выводу, что для трёх точек подвеса половина случаев будут приводить к ошибочным решениям.
Зато для четырёх точек почти всегда решение верное. Наконец, для пяти точек оно верное безо всяких почти.
Лично для меня в этой истории интереснее всего кажутся два момента:
1. Частота колебаний есть функция только от расстояния от точки подвеса до ц. масс., и от радиуса инерции тела $r_0.$
Таким образом, точки подвеса, дающие одинаковые частоты, лежат на концентрических окружностях.
При заданном $r_0$, зависимость частоты от формы отсутствует.
2. В отличие от математического маятника, в физ. маятнике зависимость частоты от расстояния
не монотонная; существует расстояние (равное $r_0$), на котором достигается максимум частоты.

[Батороев]

dovlato в сообщении #640890 писал(а):

Рисуя окружности, приходишь к выводу, что для трёх точек подвеса половина случаев будут приводить к ошибочным решениям.

Вряд ли к ошибочным. Для каждой точки подвеса на одной окружности можно противопоставить ее центр качания на другой и наоборот (теорема Гюйгенса). При этом линия, соединяющая точку подвеса и центр качания проходит через центр концентрических окружностей (центр масс).