Уравнение Лапласа, переход из декартовой СК в цилиндрическую

[art2222]

Здравствуйте.

В процессе решения задачки, возникла проблема вывода уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Пусть у нас есть уравнение Лапласа в декартовых координатах:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

Далее, делаем замену:
$x = r \cos(\varphi)$
$y = r \sin(\varphi)$
$z = z$

Не понимаю, как подставить их в уравнение? Ответ я знаю, но интересны сами выкладки.

Ответ:
$\Delta u = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial u \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \varphi ^2} + {\partial^2 u \over \partial z^2 } =0 $

[Munin]

$\dfrac{\partial}{\partial x}=\dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial\varphi}+\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial z},$
повторить шесть раз, смешать, но не взбалтывать. Много технической возни (в которой легко понаошибаться), и в итоге получается то, что нужно.

[still alive]

Или разобраться с коэффициентами Ламе.