Отображения и многозначные функции

[Mitrius_Math]

Пусть $M$ и $N$ - произвольные множества. Говорят, что на множестве $M$ задано отображение $\varphi$ со значениями в множестве $N$, если $\forall x \in M \ \exists ! y \in N$. А как быть с многозначными функциями? Они ведь не вписываются в данное определение. Можно ли убрать требование единственности в определении отображения?

[ewert]

При желании можно всё, но получится нечто жуткое. Неоднозначности образов принято избегать. И, скажем, в ТФКП (где многозначные функции появляются естественным и неизбежным образом) -- избегание осуществляется введением понятия римановых поверхностей.

[Munin]

Mitrius_Math в сообщении #635366 писал(а):

Говорят, что на множестве $M$ задано отображение $\varphi$ со значениями в множестве $N$, если $\forall x \in M \ \exists ! y \in N$.

Чего-то в супе не хватает... точнее, под кванторами...

Mitrius_Math в сообщении #635366 писал(а):

Можно ли убрать требование единственности в определении отображения?

Да замените множество $N$ на множество $2^N,$ делов-то.

[Руст]

Многозначными отображениями пользуются в экономике. Но там пользуются выпуклым анализом, соответственно у многозначных функций образы точек являются выпуклыми, для их теоремы о неподвижной точке достаточно даже стягиваемости в точку образа точек.

А вообще надо перейти к отношениям между множествами $M,N$, являющихся подмножествами $M*N$. Множества и отношения образуют самодвойственную (соответственно удобную) категорию. Диагональные отношения и здесь являются единичными морфизмами. Симметричные отношения $F_s=\{(x,y)|(y,x)\in F\}$ называют обратными, хотя это не совсем так.
Если произведение отношения F потом $F_s$ содержит диагональ, то можно их назвать многозначной функцией. Если к тому же произведение вначале $F_s; потом F содержится в диагонале, то обычная функция.

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #635378 писал(а):

ТФКП

Я как раз и хотел узнать: есть ли универсальное определение отображения, подходящее и для вещественнозначных функций вещественного аргумента, и для комплекснозначных функций комплексного аргумента, и для функционалов?

[Joker_vD]

Есть такое определение, называется преобразованием (Зарисский, "Коммутативная алгебра", т.1, пар. 10), жутко неудобно и никому нафиг не нужно.

(Оффтоп)

И почему, почему он их пишет справа от аргумента? Если бы мы писали $f\colon B\leftarrow A$, $g\colon C\leftarrow B$, то композиция совершенно естественно писалась бы $gf\colon C\leftarrow A$, $gf(a)=g(f(a))$ — вычисление функции изначально контравариантно? Хм.

[Mitrius_Math]

Joker_vD, большое спасибо. Посмотрю.

[Jnrty]

Многозначное отображение $M$ в $N$ - это отображение $M$ в множество подмножеств $N$.