Красивое утверждение с функцией пол/потолок

[Kid_Dynamite]

Добрый вечер, форумчане!

Пусть $f(x)$ - непрерывная строго возрастающая функция на отрезке $I$ функция, и если $x$ лежит в $I$, то и $\lfloor x \rfloor$ и $\lceil x \rceil$ - тоже лежат в этом отрезке. Кроме того, функция обладает следующим свойством: если $f(x)$ - целое, то $x$ - целое. Тогда

$$\lfloor f(x) \rfloor=\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor$$

$$\lceil f(x) \rceil=\lceil f(\lceil x \rceil)\rceil$$

Пытаюсь доказать его для функции пол, т.е. $\lfloor \rfloor$
Если $x$ - целое, то $[x]=x$ и отсюда сразу получается.
Пусть $x$ - нецелое, тогда $\lfloor x \rfloor<x$ и в силу монотонности функции $f$ мы получаем, что $f(\lfloor x \rfloor)<f(x)$ и кроме того, функция $\lfloor \rfloor$ - не убывает. Значит, $\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor \leqslant\lfloor f(x)\rfloor$.
Пусть все-таки $\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor <\lfloor f(x)\rfloor$, то дальше уже не знаю как делать.

Помогите пожалуйста.

[Whitaker]

Я бы сделал так:
Вместо $\lfloor \rfloor$ я буду писать $[]$ (мне так удобнее)
Пусть $[f([x])]<[f(x)]$, тогда отсюда можно вывести такие неравенства очевидные:

$$f([x])<[f(x)]\leqslant f(x)$$

Так как у нас функция $f(x)$ по условию теоремы монотонно возрастающая и непрерывная, то существует промежуточная точка $y$, гдe $f(y)=[f(x)]$ и $[x]<y\leqslant x$
Еще $f(y)=[f(x)] \in \mathbb{Z}$, то $y\in \mathbb Z$
Но как целая точка $y$ может удовлетворять этому: $[x]<y\leqslant x$ (да еще $x$ - не целое)
Никак!
Получаем противоречие!

[Kid_Dynamite]

Whitaker в сообщении #640539 писал(а):

$$f([x])<[f(x)]\leqslant f(x)$$

второе неравенство понятно, а как получено первое?

[Whitaker]

А что там трудного?
Вы допустили, что верно неравенство $[f([x])]<[f(x)]$.
Пусть для простоты будет $[a]<[b]$, тогда отсюда следует, что $a<[b]$
Если $a>[b]$, то $[a]\geqslant [b]$
Если $a=[b]$, то $[a]=[b]$
Вот так вот!

(Оффтоп)

эта задача из задачника "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений." и называется теорема Мак-Элиса

[Kid_Dynamite]

Whitaker
спасибо за помощь!