Координатный способ описания движения точки

[randy]

В учебнике написано, что $V_x=\frac{dx}{dt}$, откуда следует, что $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$. Но $\frac{d\cdot(dx/dt)}{dt}=\frac{d^2x}{d^2t^2}$. Помогите разобраться, как выводилась формула?

[Dragon27]

Это стандартное обозначение Лейбница для производной. В случае, если переменная (по которой дифференцируют) независима, то её можно интерпретировать как отношение бесконечно малых.
Что, по-вашему, $d^2 t^2$ вообще такое? $dt^2$ - это $dt$ в квадрате. А $d^2 t^2$ - второй дифференциал от $t^2$, то бишь $d(d(t^2)) = d(2t dt) = 2dt^2 + 2t d^2t = 2dt^2$ (учитывая, что $t$ - независимая переменная, и второй дифференциал от неё нулевой).

[randy]

$d$ - обозначение производной, да. Но в числителе квадрат есть, а в знаменателе нет. Почему?

[Dragon27]

В числителе не квадрат, а второй дифференциал ($d$ - это дифференциал, а не производная). А в знаменателе как раз квадрат. $dt^2$ - это просто $(dt)^2$ без скобок (для удобства).
$d^2x$ - это простое сокращённое обозначение для $d(dx)$
Соответственно, $d^3x = d(d^2x) = d(d(dx))$ и т. д.

-- Пн ноя 05, 2012 17:30:00 --

Яснее стало? :)

[randy]

А как эту формулу на практике следует понимать? Допустим, дана зависимость $x=At+Bt^3+c$. Нужно два раза взять производную от $x$?

-- 05.11.2012, 17:32 --

Dragon27 в сообщении #640338 писал(а):

В числителе не квадрат, а второй дифференциал ($d$ - это дифференциал, а не производная). А в знаменателе как раз квадрат. $dt^2$ - это просто $(dt)^2$ без скобок (для удобства).
$d^2x$ - это простое сокращённое обозначение для $d(dx)$
Соответственно, $d^3x = d(d^2x) = d(d(dx))$ и т. д.

-- Пн ноя 05, 2012 17:30:00 --

Яснее стало? :)

да, спасибо

[Dragon27]

Ну да. Два раза производную по $t$.

[Joker_vD]

Когда же уже эта лейбницева запись $\frac{dx}{dt}$ вымрет? Не в этом столетии, по-видимому.

$$\frac{d(dx/dt)}{dt}=\frac{\;\frac{d(dx)\cdot dt-dx\cdot d(dt)}{(dt)^2}\;}{dt}=\frac{d(dx)}{(dt)^2}-\frac{dx\cdot d(dt)}{(dt)^3}=\frac{d(dx)}{(dt)^2},$$

потому что полагают $d(dt)=0$ (как второй дифференциал свободной производной), после чего вводим обозначения $d(dx)=d^2x$, $(dt)^2=dt^2$.

Но это все читерство.

[Munin]

А зачем ей вымирать? Она удобна. Например, с заменами переменных постоянно приходится крутить такие вещи:

$$\dfrac{da}{db}=\dfrac{da}{dc}\dfrac{dc}{db}=\dfrac{da}{dc}\left(\dfrac{db}{dc}\right)^{-1}.$$

Не будь лейбницевой записи, сколько бы в этом было путаницы?

[Someone]

randy в сообщении #640331 писал(а):

В учебнике написано, что $V_x=\frac{dx}{dt}$, откуда следует, что $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$. Но $\frac{d\cdot(dx/dt)}{dt}=\frac{d^2x}{d^2t^2}$. Помогите разобраться, как выводилась формула?

Полезно запомнить, что $dt$ и т.п. - это не произведение $d$ на $t$, а один символ, записываемый двумя буквами. А $dt^2$, соответственно, квадрат этого символа.

А выводится так. После того, как определили дифференциал формулой $dx=C\cdot\Delta t$, где $\Delta t$ - приращение независимой переменной, показываем, что для производной справедлива формула $dx=x'\Delta t$. Подставляем сюда $x=t$ и получаем $dt=\Delta t$, то есть, дифференциал независимой переменной равен её приращению. Поэтому можем написать $dx=x'dt$. Далее берём дифференциалы от обеих частей последнего равенства и получаем второй дифференциал $d^2x=d(dx)=d(x'dt)=(x'dt)'dt=x''(dt)^2$. (Определение второго дифференциала помните?) Производную от $dt$ брать не надо, так как производная берётся по $t$, а $dt$ - это некоторое число (приращение $t$), определяемое независимо от $t$. Чтобы скобки не загромождали формулы, вместо $(dt)^2$ пишут $dt^2$. Вот и получается $d^2x=x''dt^2$.

А вообще, подробнее посмотрите в учебнике математического анализа.

[Joker_vD]

Munin
Она, может, и удобна, но вашем равенстве $c$ обозначает три разные вещи. У меня два года ушло, прежде чем я перестал путаться. И кстати, $\dfrac{da}{db}(b)=\dfrac{da}{dc}(?)\cdot \left(\dfrac{db}{dc}\right)^{-1}(?)$ — в каких точках считаем производные справа?

Кстати, а слабо доказать ваши два равенства, если принимать $da,db,dc$ за 1-формы?

[Munin]

Joker_vD в сообщении #640401 писал(а):

$c$ обозначает три разные вещи.

Назовите какие. А то я думаю, одну.

Joker_vD в сообщении #640401 писал(а):

в каких точках считаем производные справа?

В $c(b),$ естественно. Но задача изгнать букву $b$ изо всех формул, так что эту точку дальше называем просто $c,$ и если надо взять значение $b,$ вычисляем $b(c)$ в явном виде.

Joker_vD в сообщении #640401 писал(а):

У меня два года ушло, прежде чем я перестал путаться.

Я и сейчас путаюсь, но только в случае векторных величин или частных производных. И чтобы не путаться, пишу в углу бумажки, как девиз, исходную скалярную формулу.

Ох, а в термодинамике? Там четыре величины $V,T,P,S$ образуют не две, а четыре системы координат, а обозначения мутнее некуда.

[Joker_vD]

Munin в сообщении #640417 писал(а):

Назовите какие.

1) Переменная в выражении для $a(c)$.
2) Функция $c$.
3) Значение функции из 2) в точке $b$.

[Munin]

Joker_vD в сообщении #640401 писал(а):

Кстати, а слабо доказать ваши два равенства, если принимать $da,db,dc$ за 1-формы? :wink:

А они же тогда чисто алгебраические и очевидные. Знаменатели не равны нулю, только надо оговорить.