Определние частной производной

[xmaister]

Пусть $U\subset\mathbb{R}^n$- открытое множество. Положим, что $f:U\to\mathbb{R}$- некоторая функция и пусть $x\in U$. $r_i:U\to\mathbb{R}$- ограничение $p_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ на $U$, где $p_i$- естественная проекция, $i=1,2,\ldots ,n$. Рассмотрим функцию $g_x(h):V\to\mathbb{R}$, $g_{x,i}(h)=\frac{f(x_1,\ldots ,x_i+h,\ldots ,x_n)-f(x)}{h}$, $V=r_i(U)\setminus\{x_i\}-x_i$- открытое, причем $0$- предельная для $V$. Тогда, если существует предел $\lim\limits_{h\to 0}g_{x,i}(h)$, то он будет частной производной $f:U\to\mathbb{R}$ по $r_i$. Я правильно понял определение частной производной?

[ewert]

Наверное, правильно, только это просто жуть. Ограничения какие-то, проекции -- читать невозможно. Почему бы не сказать по-человечески: частная производная -- это производная по одной из переменных при условии, что остальные считаются фиксированными?

[xmaister]

Я пытаюсь как можно более формально рассматривать это понятие. Это разве не нужно? Т.е. понятно, что на практике то нафиг не надо, но разве не стоит хотя бы 1 раз формально сформулировать определение объекта с которым работаю?

[TOTAL]

xmaister в сообщении #640372 писал(а):

Я пытаюсь как можно более формально рассматривать это понятие. Это разве не нужно?

Если ситать известным, что такое производная для функции одной переменной, то зачем нужно эти подробности?

[Joker_vD]

А не проще ли сделать так: есть $f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R$, $\pi_i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ — проекции, $Df$ — производная, тогда $\frac{\partial f}{\partial x_i}=\pi_i\circ Df$.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #640387 писал(а):

$Df$ — производная, тогда $\frac{\partial f}{\partial x_i}=\pi_i\circ Df$.

Хуже: это уже пусть и тривиальная, но теорема. Исходное определение частной производной всё-таки имеет самостоятельную ценность по сравнению с дифференциалом (хотя бы потому, что дифференциал может и не существовать).

[xmaister]

Разбираюсь с теоремой Шварца, которая утверждает, что, если для $f:U\to\mathbb{R}$, где $U\subset\mathbb{R}^2$- открытое в некоторой точке $x\in U$ существуют непрерывные частные производные $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}|_{(x_0,y_0)}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}|_{(x_0,y_0)}$, то они равны. По поределению $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}|_{(x_0,y_0)}=\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial y}}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}=\lim\limits_{\delta\to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_0+\delta,y_0)}-\frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}}{\delta}=\lim\limits_{\delta\to 0}\frac{\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+\delta,y_0+h)-f(x_0+\delta,y_0)}{h}-\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}}{\delta}=$
$\lim\limits_{\delta\to 0}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+\delta,y_0+h)-f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0,y_0+h)+f(x_0,y_0)}{h\delta}=\lim\limits_{\delta\to 0}\lim\limits_{h\to 0}\frac{\partial \frac{f(x_0+\delta,y_0+\xi)-f(x_0,y_0+\xi)}{\delta}}{\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}|_{(x_0,y_0)}$.
Вопрос такой: При каких условиях для $f:U\to\mathbb{R},U\subset\mathbb{R}^2$ верно, что $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$, если $(x_0,y_0)$- предельная точка для $U$ и $(x_0,y_0)\not\in U$?

[ewert]

xmaister в сообщении #640634 писал(а):

Вопрос такой: При каких условиях для $f:U\to\mathbb{R},U\subset\mathbb{R}^2$ верно, что $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$, если $(x_0,y_0)$- предельная точка для $U$ и $(x_0,y_0)\not\in U$?

Вопрос какой-то праздный: если предельная точка -- не внутренняя, то эти пределы, вообще говоря, не обязаны даже иметь смысла, не то что существовать или не существовать. В теореме предельная точка считается, естественно, внутренней.

А условие очень простое: непрерывность вторых производных подразумевает существование предела по совокупности переменных. Из чего уже следует существование и равенство пределов по любым траекториям, ведущим к данной точке. В том числе и по тем двум ломаным, пределы по которым дают формально разные порядки дифференцирования.

Только доказательство у Вас какое-то недоделанное. Там пафос в двукратном применении теоремы Лагранжа (обычной, одномерной), т.е. в получении равенства вида

$\dfrac{1}{h\delta}\big(f(x_0+\delta,y_0+h)-f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0,y_0+h)+f(x_0,y_0)\big)=\left.\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\right|_{(x_0+\theta_1\delta,y_0+\theta_2h)}$.

Тогда из существования и непрерывности второй производной в каком-либо одном порядке следует существование предела по совокупности переменных левого выражения, а последний предел в силу симметричности выражения может уже интерпретироваться и как $f''_{xy}$, и как $f''_{yx}$.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #640634 писал(а):

Вопрос такой: При каких условиях для $f:U\to\mathbb{R},U\subset\mathbb{R}^2$ верно, что $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$, если $(x_0,y_0)$- предельная точка для $U$ и $(x_0,y_0)\not\in U$?

см Л. Шварц Анализ том 1 стр 158 (Москва, Мир 1972)

ewert в сообщении #640696 писал(а):

В теореме предельная точка считается, естественно, внутренней.

"естественно" мне особенно понравилось

[lyuk]

Условие открытости для $U$ -- лишнее.

[xmaister]

ewert в сообщении #640696 писал(а):

Только доказательство у Вас какое-то недоделанное.

Я не понял, что конкретно у меня некорректно? Я и использовал 2 раза теорему Лагранжа, затем переодил к пределу и ссылался на непрерывность смешанной производной.

[ewert]

xmaister в сообщении #640907 писал(а):

Я и использовал 2 раза теорему Лагранжа, затем переодил к пределу и ссылался на непрерывность смешанной производной.

Я увидел только одну теорему Лагранжа -- по игрекам, в этом месте:

xmaister в сообщении #640634 писал(а):

$=\lim\limits_{\delta\to 0}\lim\limits_{h\to 0}\frac{\partial \frac{f(x_0+\delta,y_0+\xi)-f(x_0,y_0+\xi)}{\delta}}{\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}|_{(x_0,y_0)}$

И это действительно ещё не даёт оснований переставлять предельные переходы и получать вторую производную, выписанную справа. Нужно лагранжить ещё и по иксам.

Oleg Zubelevich в сообщении #640768 писал(а):

"естественно" мне особенно понравилось

Одномерная производная в стандартном смысле по определению определена лишь во внутренней точке промежутка. Соответственно, говорить о смешанной второй производной имеет смысл только тогда, когда функция определена в некоторой двумерной окрестности. Конечно, можно определить её и на каких-нибудь вычурных областях типа состыкованных треугольничков, но подобные извращения никому не нужны и никогда не рассматриваются.

Ссылка на Шварца неуместна абсолютно. Нелепо приплетать банаховы пространства к стандартной и элементарной теореме дифференциального исчисления. Кроме того, она ничего и не доказывает: мало того, что там вообще не про производные, так из непрерывности вторых производных непосредственно ещё и не следует равномерность предельного перехода, порождающего эти производные. Как каждому овощу -- свой фрукт, так и каждую математическую задачу желательно решать лишь адекватными средствами.

[xmaister]

Почему условие открытости для $U$- лишнее? Мы же рассматриваем частные производные в точки $x$, если функция определена в некоторой окрестности точки $x$.

Пусть $f:U\to V$- гомеоморфизм $U$ на $V$, где $U,V\in\mathbb{R}^n$- открытые. Если известно, что для каждой проекции $p_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ отображение $p_i\circ j\circ f:U\to\mathbb{R}$, где $j:V\to\mathbb{R}^n$- тождественное вложение, дифференцируемо, то верно ли то же самое для $f^{-1}:V\to U$?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #641053 писал(а):

Ссылка на Шварца неуместна абсолютно. Нелепо приплетать банаховы пространства к стандартной и элементарной теореме дифференциального исчисления. Кроме того, она ничего и не доказывает: мало того, что там вообще не про производные, так из непрерывности вторых производных непосредственно ещё и не следует равномерность предельного перехода, порождающего эти производные.

Ссылка на Шварца была дана не в связи с производными, а в связи с вопросом о принадлежности предельной точки множеству в теореме об измененении порядка взятия пределов (я процитировал фразу на которую отвечал). Т.к. Вы продемонстрировали непонимание этих вопросов на уровне чуть выходящем за стандартый учебный курс анализа и дали неправильный ответ. Теперь Вы пытаетесь подменить тему, как-будто Вы отвечали не на вопрос о пределах, а на вопрос о производных. Хотя все совершенно очевидно:

ewert в сообщении #640696 писал(а):

xmaister в сообщении #640634 писал(а):
Вопрос такой: При каких условиях для $f:U\to\mathbb{R},U\subset\mathbb{R}^2$ верно, что $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$, если $(x_0,y_0)$- предельная точка для $U$ и $(x_0,y_0)\not\in U$?

Вопрос какой-то праздный: если предельная точка -- не внутренняя, то эти пределы, вообще говоря, не обязаны даже иметь смысла, не то что существовать или не существовать. В теореме предельная точка считается, естественно, внутренней.

ewert в сообщении #641053 писал(а):

Нелепо приплетать банаховы пространства к стандартной и элементарной теореме дифференциального исчисления.

вот именно, стандартные теоремы , верные даже для случая банаховых пространств, не известны Вам и в конечномерной версии

[ewert]

xmaister в сообщении #641438 писал(а):

Мы же рассматриваем частные производные в точки $x$, если функция определена в некоторой окрестности точки $x$.

Формально это необязательно, если речь идёт об именно частных производных. Однако для дифференцируемости функции (по Фреше), что является более сильным требованием, необходима уже определённость действительно в некоторой окрестности. Для доказательства теоремы о перестановке порядков дифференцирования это тоже необходимо.

xmaister в сообщении #641438 писал(а):

Если известно, что для каждой проекции $p_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ отображение $p_i\circ j\circ f:U\to\mathbb{R}$, где $j:V\to\mathbb{R}^n$- тождественное вложение, дифференцируемо, то верно ли то же самое для $f^{-1}:V\to U$?

Это ведь неверно уже даже в одномерном случае.