Теорема о гомоморфизмах групп.

[Andrei94]

Здравствуйте! Хочется понять эту теорему, помогите, пожалуйста, разобраться.

Каждая группа $\overline\circledS$, на которую гомоморфно отображается группа $\circledS$ изоморфна факторгруппе $\circledS/\ell$, притом нормальная подгруппа $\ell$ является ядром данного гомоморфизма. Обратно, любая группа $\circledS$ гомоморфно отображается на любую свою факторгруппу $\circledS/\ell$ (где $\ell$ - нормальная подгруппа)

Можете, пожалуйста привести какой-то пример, чтобы я смог до конца понять теорему... Ну или подсказать - какую группу попроще можно рассмотреть.

[Joker_vD]

Мнэээ... Возьмите $\overline\circledS=\{0,1,2,3,4\}$ с операцией $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$; $\circledS=\mathbb Z$, $\ell = 5\mathbb Z$.

Кстати, откуда такие шикарные обозначения?

[Andrei94]

Joker_vD в сообщении #640114 писал(а):

Мнэээ... Возьмите $\overline\circledS=\{0,1,2,3,4\}$ с операцией $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$; $\circledS=\mathbb Z$, $\ell = 5\mathbb Z$.

Кстати, откуда такие шикарные обозначения?

Ну ок, возьмем $a=1\;\;\;b=2$

$(1,2)\mapsto 3\bmod 5$

Такая запись $3\bmod 5$ не очень понятна, я ее так воспринял

$(1,2)\mapsto 3+ 5\mathbb Z$

$\overline\circledS/\ell=\{a+b+5\mathbb Z, a+b\in \overline\circledS\}$ - факторгруппа

Возможно, что я написал ересь. Поправьте, плиз...

Книжка Вандервардена

[Joker_vD]

Под $a\bmod b$ я имел в виду остаток от деления $a$ на $b$. Как вы ухитрились $\overline\circledS$ по $\ell$ профакторизовать — загадка.

-- Пн ноя 05, 2012 01:42:22 --

(Оффтоп)

"Каждая группа $\overline{\mathfrak G}$, на которую гомоморфно отображается группа $\mathfrak G$, изоморфна факторгруппе $\mathfrak S/\mathfrak e$; при этом нормальная подгруппа $\mathfrak e$ является ядром данного гомоморфизма. Обратно, группа $\mathfrak G$ гомоморфно отображается на любую свою факторгруппу $\mathfrak G/\mathfrak e$ (где $\mathfrak e$ — нормальная подгруппа)"... это готические $G$ и $e$ такие.

[Andrei94]

Joker_vD в сообщении #640128 писал(а):

Под $a\bmod b$ я имел в виду остаток от деления $a$ на $b$. Как вы ухитрились $\overline\circledS$ по $\ell$ профакторизовать — загадка.

-- Пн ноя 05, 2012 01:42:22 --

(Оффтоп)

"Каждая группа $\overline{\mathfrak G}$, на которую гомоморфно отображается группа $\mathfrak G$, изоморфна факторгруппе $\mathfrak S/\mathfrak e$; при этом нормальная подгруппа $\mathfrak e$ является ядром данного гомоморфизма. Обратно, группа $\mathfrak G$ гомоморфно отображается на любую свою факторгруппу $\mathfrak G/\mathfrak e$ (где $\mathfrak e$ — нормальная подгруппа)"... это готические $G$ и $e$ такие.

Спасибо. Вот все эти гомоморфизмы (это чтобы мне нагляднее было), пока уровень абстракции у иеня сильно хромает...

(тут я тренировался считать остатки, но потом вспомнил, что a u b - любые целые числа)

$(0,0)\mapsto 0\bmod 5=0$

$(0,1)\mapsto 1\bmod 5=1$

$(0,2)\mapsto 2\bmod 5=2$

$(0,3)\mapsto 3\bmod 5=3$

$(0,4)\mapsto 4\bmod 5=4$

$(1,1)\mapsto 2\bmod 5=2$

$(1,2)\mapsto 3\bmod 5=3$

$(1,3)\mapsto 4\bmod 5=4$

$(1,4)\mapsto 5\bmod 5=0$

$(2,2)\mapsto 4\bmod 5=4$

$(2,3)\mapsto 5\bmod 5=0$

$(2,4)\mapsto 6\bmod 5=1$

$(3,3)\mapsto 6\bmod 5=1$

$(3,4)\mapsto 7\bmod 5=2$

$(4,4)\mapsto 8\bmod 5=3$

-- 05.11.2012, 00:58 --

Ой, у нас ведь гомоморфизм такой $\mathfrak G\to \overline{\mathfrak G}$

-- 05.11.2012, 01:06 --

А вот это верно?

$\mathfrak G/\mathfrak e=\{\mathfrak g +5\mathbb Z, \mathfrak{g}\in \mathfrak{G}\}$

Если верно, то каким образом можно осуществить изоморфизм в $\overline{\mathfrak G}$?

[Joker_vD]

Andrei94 в сообщении #640130 писал(а):

a u b - любые целые числа

Нет... я же написал: $\overline G = \{0,1,2,3,4\}$. Там ровнехонько пять элементов, а операция задана именно так, как у вас под офф-топом. Просто короче сказать $a\bmod b$.

Хорошо, $G=\mathbb Z$, $\overline G=\{0,1,2,3,4\}$, постройте-ка гомоморфизм $G$ на $\overline G$.

[Andrei94]

Joker_vD в сообщении #640154 писал(а):

Andrei94 в сообщении #640130 писал(а):

a u b - любые целые числа

Нет... я же написал: $\overline G = \{0,1,2,3,4\}$. Там ровнехонько пять элементов, а операция задана именно так, как у вас под офф-топом. Просто короче сказать $a\bmod b$.

Хорошо, $G=\mathbb Z$, $\overline G=\{0,1,2,3,4\}$, постройте-ка гомоморфизм $G$ на $\overline G$.

Но вы ведь писали $\circledS=\mathbb Z$, почему $a,b$ - не любые целые числа? Ведь у них как раз только такие 5 остатоков могут быть от деления на 5.

Так вот он тот самый гомоморфизм, вы же его сами построили=) $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$ переводит $G\to \overline G$

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640155 писал(а):

Joker_vD в сообщении #640154 писал(а):

Andrei94 в сообщении #640130 писал(а):

a u b - любые целые числа

Нет... я же написал: $\overline G = \{0,1,2,3,4\}$. Там ровнехонько пять элементов, а операция задана именно так, как у вас под офф-топом. Просто короче сказать $a\bmod b$.

Хорошо, $G=\mathbb Z$, $\overline G=\{0,1,2,3,4\}$, постройте-ка гомоморфизм $G$ на $\overline G$.

Так вот он =) Для $\forall a,b\in\mathbb Z\;\;\;$ гомоморфизм $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$ переводит $G\to \overline G$

А напишите, пожалуйста, определение гомоморфизма.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640157 писал(а):

А напишите, пожалуйста, определение гомоморфизма.

Рассмотрим $(G_1,*)$, $(G_2,\times)$. Отображение $f \colon G_1 \to G_2$ называется гомоморфизмом групп $G_1$ и $G_2$, если оно одну групповую операцию переводит в другую:

$f(a*b)=f(a)\times f(b)$

[Xaositect]

Так.
А почему у вас в предыдущем посте у гомомрфизма два аргумента?

[Профессор Снэйп]

Andrei94 в сообщении #640126 писал(а):

Книжка Вандервардена

В этой книжке, по моему, нигде буквы в кружочек не берутся. Зато широко используется готический шрифт. $\mathfrak{S}$, а не $\circledS$.

[VAL]

Во всей ветке ни разу не заметил упоминания ядра гомоморфизма. А именно оно проясняет суть дела.

Пусть $f:G\to G'$ - гомоморфизм групп и $f(G)$ - образ группы $G$ при этом гомоморфизме (т.е. множество образов элементов $G$).
Тривиально проверяется, что $f(G)$ - подгруппа $G'$.
Множество $H=\{x\in G|f(x)=e'\}$, где $e'$ - нейтральный элемент $G'$, называется ядром гомоморфизма $f$.
Легко убедиться, что $H$ - нормальная подгруппа $G$.

Теорема о гомоморфизмах утверждает, что факторгруппа $G/H$ изоморфна $f(G)$.

Требуемый изоморфизм $\varphi$ задается так: $\varphi(aH)=f(a)$.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640160 писал(а):

Так.
А почему у вас в предыдущем посте у гомомрфизма два аргумента?

Ведь формула $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ содержит $a*b$

[Xaositect]

Так.
Давайте подробнее. Напишите еще раз, какие множества $G_1$, $G_2$ с какими операциями $*$ и $\times$ Вы рассматриваете и какой будет гомоморфизм $f$.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640237 писал(а):

Так.
Давайте подробнее. Напишите еще раз, какие множества $G_1$, $G_2$ с какими операциями $*$ и $\times$ Вы рассматриваете и какой будет гомоморфизм $f$.

$G_1=\mathbb Z$, $*=+$

$G_2=\{0,1,2,3,4\}$, а $\times $ - это я не знаю что(