Существаования множества функций

[xmaister]

Доброго времени суток. Подскажите пожалуйста, как из аксиом $ZFC$ вывести, то для всех множеств $A,B$ существует множество $A^B$, которое состоит из всех функций $f:A\to B$. Я думал так $f=\langle A,G_f,B\rangle$, где $G_f$- график отображения $f$. Сначала строим $A\times B$, потом $2^{A\times B}$, далее его подмножество $G=\{G_f|f:A\to B\}$, тогда $\{A\}\times G\times\{B\}=A^B$. Так?

[arseniiv]

Ага. (Только ведь оно обозначается $B^A$.)

[Профессор Снэйп]

Ну да, так. И замечание насчёт обозначений тоже справедливо: $A^B$ - это множество функций из $B$ в $A$.

[xmaister]

Да, действительно.

[xmaister]

У меня возник следующий вопрос: Пусть $\{U_s\}_{s\in S}$- произвольное семейство множеств, тогда естественная проекция $p_j:\prod\limits_{s\in S}U_s\to U_j,~j\in S$ по определению $p_j\left(\prod\limits_{s\in S}U_s\right)=\{x|\exists f\in\prod\limits_{s\in S}U_s:f(j)=x\}$. Я хочу показать, что $p_j\left(\prod\limits_{s\in S}U_s\right)=U_j$. Рассмотрим $x\in U_j$. Существует функция выбора $\varphi:S\to\bigcup\limits_{s\in S}U_s$. Будем иметь $\varphi=\langle S, G_\varphi, \bigcup\limits_{s\in S}U_s\rangle$. Рассмотрим $G_f=G_\varphi\setminus \langle j,\varphi (j)\rangle\cup\langle j,x\rangle$, тогда функция $f=\langle S, G_f \bigcup\limits_{s\in S}U_s\rangle$- такая что $f(j)=x$, откуда $p_j\left(\prod\limits_{s\in S}U_s\right)=U_j$. Мне не очень нравится то, что я опирался на аксиому выбора. Как её тут обойти?

-- 05.11.2012, 16:51 --

Вообще получается, что все функции из $\prod\limits_{s\in S}U_s$ будут функциями выбора. Я думаю, что аксиома выбора нужна, чтобы иметь в распоряжении хотя бы одну такую функцию, а как дальше состряпать из одной такой функции всё $\prod\limits_{s\in S}U_s$?