Разломанный отрезок

[Ktina]

На сколько частей и как нужно разломать отрезок данной длины $a$ , чтобы произведение длин всех полученных обломков было максимальным?

[_Ivana]

Навскидку - разбить на максимальное количество равных частей, при котором длина каждой части будет больше 2.

UPD Навскидку получилось неправильно. Сейчас думаю так: разбиваем на $n$ равных отрезков, где $n$ берется максимальным из условия $n < 1 + a/(1 + 1/n)^n$

[Ktina]

_Ivana в сообщении #639686 писал(а):

Навскидку - разбить на максимальное количество равных частей, при котором длина каждой части будет больше 2.

Э...существование числа $e$ кагбе осторожно намекает нам на то, что оно не целое

[ИСН]

Короче, чтобы части были возможно ближе к e.

[_Ivana]

ИСН если не ошибаюсь, то не совсем так. Например, при $a = 3.9$ нам не надо разбивать его пополам, хотя длина каждой половины будет ближе к $e$

[Ktina]

ИСН в сообщении #639708 писал(а):

Короче, чтобы части были возможно ближе к e.

Так-то оно так, это я интуитивно поняла. Да вот доказательство приказало долго жить.

(Оффтоп)

Как говорил Чапаев, умом чувствую, что литр, а обосновать не могу

[ИСН]

topic26894.html

[vorvalm]

Надо разделить отрезок $a$ на две равные части.

[Nemiroff]

_Ivana в сообщении #639709 писал(а):

Например, при $a = 3.9$ нам не надо разбивать его пополам, хотя длина каждой половины будет ближе к $e$

Так $3.9/e<1.5$

[Ktina]

vorvalm в сообщении #639712 писал(а):

Надо разделить отрезок $a$ на две равные части.

Э, нет. А если длина 100?
10^{10}>(\frac{100}{2})^2

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #639716 писал(а):

А если длина 100?

С единицей нагляднее.

[_Ivana]

Nemiroff в сообщении #639715 писал(а):

Так $3.9/e<1.5$

Простите, не понял при чем тут это. Или имеется в виду "ближе к e" не по разности а по отношению? Пока я верю в мой критерий, записанный может не самым оптимальным образом. Может "близость по отношению" и является им, надо проверить.

UPD в случае с 3.9 половина отрезка и по отношению ближе к e и по разности. А делить пополам не надо. Это к тому, что при малых n предел выражения в приведенной мною формуле ещё далек от e, поэтому опираться на e может быть некорректным.

[Nemiroff]

_Ivana в сообщении #639719 писал(а):

Простите, не понял при чем тут это

Ну да, как-то нахаляву не получается: либо $\left(\dfrac{a}{[a/e]}\right)^{[a/e]}$, либо $\left(\dfrac{a}{[a/e]+1}\right)^{[a/e]+1}$. Не знаю, что из них больше.
Соответственно, число частей либо $[a/e]$, либо $[a/e]+1$

[ИСН]

А общего критерия нет, кроме "надо смотреть". Из всех возможных длин обломков (от разламывания на k равных частей) есть две: одна ближе всех прочих к e снизу, другая - сверху. Вот какая-то из них и будет, а которая именно - см. начало данного сообщения.

[_Ivana]

Да, похоже так и есть. Во всяком случае, контрпримеров я не нашел
В моем выражении выше для $n$ торопливая опечатка - надо так: минимальное $n$, при котором $n > a/(1 + 1/n)^n - 1$