Обращение непрерывности

[Edward_Tur]

О функции известно, что она является биекцией множества всех действительных чисел на себя, и разрывна в каждой точке числовой прямой. Можно ли утверждать, что обратная к ней функция также является разрывной в каждой точке числовой прямой?
ТЮМ-2012

[xmaister]

Навскидку, вроде бы да. Пусть исходная Обратная $f^{-1}$ непрерывна хотя бы в одной точке, тогда существует последовательность непрерывных функций, поточечно сходящаяся к $f^{-1}$. Но тогда существует последовательность непрерывных, поточечно сходящаяся к $f$, значит $f$ не является всюду разрывной по теореме Бэра.

[Edward_Tur]

Положим $f(x)=x$ для рационального $x$ и $f(x)=2x$ для иррационального $x$.
Осталось слегка изменить $f(x)$ так, чтобы и в точке $x=0$ функция стала разрывной, а обратная к ней функция в точке $x=0$ осталась непрерывной.

[worm2]

Edward_Tur писал(а):

Осталось слегка изменить $f(x)$ так, чтобы и в точке $x=0$ функция стала разрывной, а обратная к ней функция в точке $x=0$ осталась непрерывной.

Что-то не соображу, как это сделать. Если мы меняем значение $f(0)$, $f^{-1}(0)$ также автоматически становится отличной от нуля, и непрерывность пропадает. Если мы меняем $f$ в окрестности нуля, то... как? Нам ведь нужно сохранить биекцию.

[dgrozev]

Here is an example.
Let change a little bit the initial deffinition of $f(x)$.
Set $f(x)=x$ for an irrational $x$ and $f(x)= 2x$ for $x$ rational.
Denote $A_p = \{p2^k | k \in \mathbb{Z}\}$, where $p$ is a prime.
Notice that $A_p \cap A_q = \emptyset, \, p \neq q$.
Now we will slightly change $f$ over $A_p, p \in \mathbb{P}$. We write down only cases where $f$ differ from its initial value.
$f(p2^{-(p+1)}) = p2^{p+1}; f(p2^{-p}) = p2^{p}$;
$ f(p2^i)= p 2^{i-1},\, i= -p+1,-p+2,\ldots,p$.

After $f$ is changed, it is clear that the new $f$ is a bijection, not continious at any point, while $f^{-1}$ is continious at $0$

[Edward_Tur]

Положим $f(x)=x$ для рационального $x$ и $f(x)=2x$ для иррационального $x$.
Изменим $f(x)$ таким образом ($n$ - натуральное):
$f(2^{-2n})=2^{-n}$,
$f(2^{-(2n-1)})=2^{2n-1}$,
$f(2^{n})=2^{2n}$.
Функция $f(x)$ осталась биективной и теперь в точке $x=0$ стала разрывной, а обратная к ней функция
$f^{-1}(2^{-n})=2^{-2n}$,
$f^{-1}(2^{2n-1})=2^{-(2n-1)}$,
$f^{-1}(2^{2n})=2^{n}$
в точке $x=0$ осталась непрерывной.

[Alexander Evnin]

А сможете ли построить всюду разрывную биекцию $f: \mathbb R\to \mathbb R$, обратная к которой непрерывна во всех целых точках?