Доказательство единой сферы вокруг 4 точек

[Clever_Unior]

Добрый день , кто-нибудь может дать ссылку или написать тут доказательство того, что вокруг 4 точек трехмерного пространства ( которые не лежат на 1 плоскости ) можно описать единственную сферу ?

Если есть несколько разных , желательно , поделитесь всеми , спасибо .

[Munin]

Сначала для треугольника на плоскости. Возьмём срединные перпендикуляры к двум сторонам $P_1P_2$ и $P_2P_3.$ Они пересекаются в единственной точке $O.$ По тому, что она принадлежит срединным перпендикулярам, $OP_1=OP_2$ и $OP_2=OP_3,$ а по транзитивности равенства $OP_1=OP_3.$ Все другие точки не принадлежат хотя бы одному из срединных перпендикуляров, и всех этих равенств вместе взятых не доставляют. Проведём окружность из точки $O$ радиусом $OP_1.$ Она пройдёт через все вершины треугольника. Для любого другого радиуса или для любого другого центра пройти через все вершины не получится.

Теперь пространство. Возьмём срединные перпендикуляры (плоскости, разумеется) к трём сторонам $P_1P_2,$ $P_2P_3$ и $P_3P_4.$ Они пересекаются в единственной точке $O.$ По тому, что она принадлежит срединным перпендикулярам, $OP_1=OP_2,$ $OP_2=OP_3$ и $OP_3=OP_4,$ а по транзитивности равенства все эти отрезки попарно равны. Все другие точки не принадлежат хотя бы одному из срединных перпендикуляров, и всех этих равенств вместе взятых не доставляют. Проведём сферу из точки $O$ радиусом $OP_1.$ Она пройдёт через все 4 точки. Для любого другого радиуса или для любого другого центра пройти через все точки не получится.

Возьмём $n$-мерное пространство. В последовательности точек $P_1,P_2,\ldots P_{n+1}$ возьмём срединные перпендикуляры к каждой паре соседних точек (всего $n$ перпендикуляров)...

[Sender]

Можно взять одну из этих точек в качестве начала координат, тогда оставшиеся 3 зададут векторный базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Будем искать вектор центра сферы в виде $\vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$. Все 4 точки должны быть равноудалены от центра сферы, т.е. $|\vec{x}|=|\vec{x}-\vec{a}|,|\vec{x}|=|\vec{x}-\vec{b}|,|\vec{x}|=|\vec{x}-\vec{c}|$. Это даст нам систему из трёх линейных уравнений для $\alpha, \beta,\gamma$, определитель которой равен граммиану векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Поскольку эти вектора линейно независимы, он ненулевой, т.е. решение системы существует и единственно.

[Clever_Unior]

Munin , большое спасибо , доказательство очень подходящее , как раз с обобщением :)

[Munin]

У Sender-а по сути то же самое, и с таким же обобщением :-)

[Профессор Снэйп]

Через три точки единственную окружность, выбираем две тройки точек, получаем 2 окружности, на них единственным образом натягивается сфера.

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #639331 писал(а):

Через три точки единственную окружность, выбираем две тройки точек, получаем 2 окружности, на них единственным образом натягивается сфера.

А вдруг получим две окружности, на которые вообще не натянуть сферу?

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #639338 писал(а):

А вдруг получим две окружности, на которые вообще не натянуть сферу?

Это как? Окружности ведь лежат в разных плоскостях и пересекаются в двух точках. Натянем на одну окружность сферу и будем раздувать её, пока в неё не ляжет другая окружность.

[Joker_vD]

А если не ляжет?

Мне лично решение Sender'а больше нравится: явно доказаны и единственность, и существование.

[Профессор Снэйп]

Joker_vD в сообщении #639491 писал(а):

А если не ляжет?

Четвёртая точка ляжет, а вместе с ней и вся окружность.

-- Сб ноя 03, 2012 09:18:54 --

Можно ещё так, без всяких растяжений.

Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ - наши четыре точки. Пусть $O_1$ - окружность, содержащая точки $A$, $B$ и $C$, а $O_2$ - окружность, содержащая точки $B$, $C$ и $D$. Прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через центры окружностей $O_1$ и $O_2$ и перпендикулярные плоскостям этих окружностей, лежат в одной плоскости и не параллельны. Не параллельность очевидна, а то, что лежат в одной плоскости, следует из того, что они обе перпендикулярны $CD$ и их ортогональные проекции на $CD$ совпадают (являясь точкой, находящейся в середине отрезка $CD$). Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ и будет центром искомой сферы. Единственность также очевидна из построения.

[Oleg Zubelevich]

в координатах задача решается мнгновенно в любой размерности