Несколько несложных задачек для ф-ции многих переменных

[Lister]

Здравствуйте. Хотелось бы попросить помощи в доказательстве нескольких, казалось бы, очевидных утверждений:

Доказать, что:
1) функции $f_i(x_1;x_2;...;x_n) = x_i, i = 1,2,...n$, непрерывны в пространстве $\mathbb{R}^n$

2) Если $g(x)$, $x \in \mathbb{R}$, непрерывна, то функции $f_i(x_1;x_2;...;x_n) = g(x_i), i = 1,2,...n$, непрерывны в пространстве $\mathbb{R}^n$
3) функция $f_i(x_1;x_2;...;x_n) = \sum\limits^{n}_{k=1}\|x_k|}$ непрерывна в пространстве $\mathbb{R}^n$
4) функция $f_i(x_1;x_2;...;x_n) = max{|x_k|} $ непрерывна в пространстве $\mathbb{R}^n$

Примечание : в 3-ем примере $||x_k|$ следует понимать, как $|x_k|$; просто мне не удалось правильно написать это с помощью тега math

Мои предположения по решению №1:
Воспользовавшись формальным определением предела для точки $x_0$:
$\forall \epsilon>0 \exists \delta = \delta ({\epsilon}) : \forall x |x-x_0| < \delta => f(x) - f(x_0) < \epsilon $ (извиняюсь за немного "кривую" запись)
Т.к. $f_i(x_1;x_2;...;x_n) = x_i $, то получаем, что $|f(x) - f(x_0)| = (x-x_0)$. Применяем формулу для вычисления расстояния между 2мя точками $\rho = {\sqrt{ (x-x_0)^2 + ... + (x-x_0_n)^2}} >= |x_1 - x_0| < \delta$, немедленно получаем ответ (доказанное утверждение).

С остальными пунктами почему-то в голову ничего не приходит. Кажется, что ответ лежит на поверхности, однако строгого доказательства дать, к сожалению, не могу. Если не сложно - подскажите, пожалуйста, как оформить строгое док-во. Заранее благодарю.
с уважением, Lister.

[Brukvalub]

Да, записали Вы все просто образцово-безобразно, хотя суть решения п.1 верная. По п.2: композиция непрерывных отображений непрерывна. По п.3: композиция и сумма непрерывных отображений непрерывна . По п.4: записать максимум через алгебраические операции и модуль и воспользоваться предыдущими п..

[Dan_Te]

В первом пункте у вас не написано, чему равно дельта. Вы должны были написать $\delta(\varepsilon)=\varepsilon$.

[Lister]

Спасибо большое, с первыми тремя пунктами разобрался. С четвертым, к сожалению, не совсем понятно - мне кажется, задачка значительно менее тривиальна, чем первые три - никак не выходит выразить $\delta ({\epsilon})$. Если не затруднит - напишите, пожалуйста, примерно, как надо действовать. Спасибо.

[Dan_Te]

А его не надо выражать для всей этой функции.

Докажите, что функция $\max(f(x),g(x))$, где $f$ и $g$ непрерывны, будет сама непрерывной. Запишите максимум модуля по всем переменным через композицию нескольких максимумов от двух переменных. И готово.

[Brukvalub]

Воспользуйтесь равенством

\[\max (p\;,\;q) = \frac{1}{2}(p + q + \left| {p - q} \right|)\]

, правая часть которого является непрерывной функцией своих аргументов.

[Lister]

Спасибо.
Dan_Te
Насколько я понимаю, данное доказательство состоит исключительно в проверке определения предела по Гейне?
И затем необходимо воспользоваться доказанным утверждением, обощая его для случая многих переменных (или использовать для док-ва моей задачи принцип, использовавшийся при док-ве выдвинутого Вами утверждения?) Фраза "Запишите максимум модуля по всем переменным через композицию нескольких максимумов от двух переменных" меня, к сожалению, немного смущает
Brukvalub
Данное утверждение необходимо обобщить на случай многих переменных, или оно может помочь при доказательстве выдвинутого Dan_Te утверждения? Просто с затруднением представляю себе, как здесь его можно применить

Извините за глупые, быть может, вопросы, просто желаю разобраться в данной задаче до конца.

[Brukvalub]

Lister писал(а):

Данное утверждение необходимо обобщить на случай многих переменных, или оно может помочь при доказательстве выдвинутого Dan_Te утверждения?

Даю наводящее соображение: максимум из трёх чисел равен максимуму из двух чисел, одно из которых является максимумом первых двух чисел, а второе - третьим числом.