Теория Лифшица-Слёзова. Коалесценция.

[r0ma]

Munin
ну... спинно-мозговой, несмотря на то, что к счастью, я имею счастье, пардон за каламбур, разирать Х том ЛЛ, я только пока ещё натаскиваю. Поэтому, прошу прощения за тупизм в некоторых, а может и многих местах, но пока по-другому не могу. Спасибо, по поводу малости вроде догнал.
В общем, с первой частью более-менее разобрался (временная зависимость). Хотя есть несколько моментов. По тем трём графикам. Сначала напишу как я их понимаю, дабы удостовериться в правильности. Если гамма больше гамма нуль, то при u меньше u_1 точки бегут влево и в нуле исчезают. Это физически отвечает тому, что вот размер зародышей уменьшается и в самом итоге зародыш полностью распадается, то есть его радиус становится равным нулю. В случае, когда u лежит между u1 и u2, и за u2 точки сваливаются к u2, то есть радиус зародышей стремится (в пределе бесконечно долго) к константе. Но при тау в бесконечность пересыщение стремится в нуль, значит радиус зародышей к бесконечности и, сл-но, такая ситуация нереализуема, т.к. не выполняется з-н сохр. в-ва.
Теперь гамма меньше гамма нуль. Ну тут просто со временем все зародыши распадутся и опять же (100.5) не выполняется, т.к. вещества как такового и нет. Третий случай, так же нереализуем, т.к. при тау в бесконечность радиус тоже в бесконечность. Остаётся только один случай. Когда кривая на 2ом рисунке приближается вверх к касанию абсциссы. И в пределе бесконечного времени её касается. Поэтому при конечном, но очень большом тау пишем (100.11). Мои рассуждения на данном этапе верны?

[Munin]

Вот тут уже начинаются вопросы физические, беру таймаут.

-- 30.10.2012 23:53:59 --

r0ma в сообщении #637999 писал(а):

прошу прощения за тупизм в некоторых, а может и многих местах, но пока по-другому не могу

Да не за что извиняться, всё нормально, натаскивайтесь. Просто для меня это необычное соотношение навыков и читаемого текста, ожидалось бы наоборот.

[r0ma]

Ещё пока никак не пойму как ЛЛ элементарно проинтегрировал:

$$\tau (u)=\int_{0}^{u}du \left(-\frac{1}{3u^2}\left(u-\frac32\right)^2(u+3)\right)$$

Это (100.18) и (100.20). Пока никаких идей. И ответ у него - P(u) - страшное какое-то.

[Munin]

r0ma в сообщении #638080 писал(а):

$$\tau (u)=\int_{0}^{u}du \left(-\frac{1}{3u^2}\left(u-\frac32\right)^2(u+3)\right)$$

$$\tau (u)=\int\limits_{0}^{u}du \left(-\frac{1}{3u^2}\left(u-\frac32\right)^2(u+3)\right)^{-1}$$

$\displaystyle\tau (u)=-\int\limits_{0}^{u}\dfrac{3u^2\,du}{(u-\tfrac{3}{2})^2(u+3)}$
Это же, вроде, что-то стандартное, хотя я уже не помню, но http://ru.wikipedia.org/wiki/Разложение_дробей_при_интегрировании .

-- 31.10.2012 14:32:57 --

По физической части теперь я не понимаю.
Сначала вводят $x(t)=a_\text{к}(t)/a_\text{к}(0),$ и говорят, что $a_\text{к}(t)$ стремится к бесконечности. Ну, $a_\text{к}(t)\to+\infty$ я ещё могу понять. Отсюда, $x(t)$ тоже возрастает и стремится к бесконечности. Дальше вводят $\gamma=(x^2\,dx/dt)^{-1}.$ Почему отсюда не следует, что $\gamma$ стремится (с ростом $t$) сверху к нулю?

А. Написал, и сам понял. $x^2$ может расти, но $dx/dt$ убывать ещё быстрее. Иногда полезно что-то записать, чтобы понять, а в уме не стремиться всё сделать.

-- 31.10.2012 14:40:29 --

Но в чём физический смысл $\gamma,$ и почему она должна возрастать? Всё ещё не пойму.

[r0ma]

Munin
Ага. Т.е. эту физику я понимаю верно, да? Тогда мне не понятно другое. Дальше мы получаем другое уравнение с z и $\eta$. Говорит, что анализ тот же самый. Ладно. Хорошо. Тот же самый. Тогда почему чуть позже они резко говорят возьмём асимптотическое значение $\eta$? Ведь оно верно только при тау равном бесконечности. Но тогда и гамма тоже будет равным 27/4 ровно без всяких добавок. Это не совсем понятно.

Далее. Да, вчера ночью уже, видимо, голова перегорела. Сегодня с утра додумался брать этот интеграл именно этим способом. Но с ответом у ЛЛ у меня не совпало. Кроме того есть вопросы. Я в числителе к u под квадратом вычел и добавил 3/2. Потом раскрыл квадрат. Поделил почленно. Получил табличные интегралы. Мы берём пределы от 0 до u. И меня пояились такие интегралы:

$$\int_0^{u}du\frac{1}{u-3/2}=\ln (u-3/2)|_0^{u}$$

Но нуль-то я не могу подставлять. Ведь лонарифм-то отрицательным станет. Подставлять надо от 3/2+e (e->0) до u. А что делать со значениями u от нуля до 3/2? У ЛЛ написано, что это нуль. Как я понимаю, тау не может быть отрицательным, поэтому и надо брать 3/2+e (e->0) до u. Т.е. тут как-то мне не очень понятно. Приведу, что у меня получилось после вычесления интеграла от 0 до u.

$$\tau (u)=\frac{37}{84}\ln\frac{u+3}{3}+\frac{43}{28}\ln \left(u-\frac32\right)|_{0}^{u}-\frac{27}{56}\frac{1}{u-3/2}-\frac{9}{28}$$

С подстановками не знаю, что делать. Это вроде как не очень совпадает с ЛЛ. Не понятно откуда у него берутся степени 7/3, 11/3. И какие-то у меня кривые коэффициенты получаюся: 27/56 и прочие. Как тут ситуацию разрулить.

Далее вопрос. В ЛЛ написан (опечаткой в новом издании): перейдём к вычислению функц. распр-я зёрен по размерам. ФР в переменных u, \tau связана с ФР в переменных t, a след. образом:

$$\varphi(\tau, u)du=f(t,a)da,\ \ \ f=\frac{\varphi}{a_k}.$$

Тут мне непонятно следующее. Почему $f=\frac{\varphi}{a_k}$?
Расскажу как я понимаю откуда берётся это соотношение.
Число частиц, разумеется, не зависит от того, в каких переменных мы работаем. Когда работаем в t,a $dN=fda$. Когда работаем в $\tau, u$ $dN=\varphi du$. Т.к. dN должно быть одним и темже отсюда $\varphi du=fda$. А причём тут $f=\frac{\varphi}{a_k}$ я не очень понимаю. Как-то так.
Объясните, пожалуйста?

[Munin]

r0ma в сообщении #637999 писал(а):

В случае, когда u лежит между u1 и u2, и за u2 точки сваливаются к u2, то есть радиус зародышей стремится (в пределе бесконечно долго) к константе.

Насчёт "бесконечно долго": это было бы так, будь сам график и величина $\gamma$ неподвижными. Но они меняются со временем, и точка $u_2$ тоже меняется, и может "заметать" радиусы, подходящие к ней слева или справа. Впрочем, то, что она "замела", она потом "тащит за собой", если, конечно, не меняется так быстро, что "заметённые" радиусы "отстают и следуют вдогонку".

Второе. $u$ - это не радиус зародышей. Радиус зародышей - это $a=ua_\text{к},$ а $u$ - отношение радиуса зародышей к критическому радиусу. Это не простая смена единицы измерения, потому что $a_\text{к}$ сам меняется со временем. Получается забавная ситуация: радиусы зародышей растут, но не за счёт роста $u,$ а за счёт роста $a_\text{к},$ а вот $u$ при этом уменьшается. То есть изменение $a$ и $u$ со временем может иметь разный знак.

r0ma в сообщении #637999 писал(а):

Но при тау в бесконечность пересыщение стремится в нуль, значит радиус зародышей к бесконечности и, сл-но, такая ситуация нереализуема, т.к. не выполняется з-н сохр. в-ва.

Вот тут (это буквально цитата из ЛЛ-10) речь идёт уже не об $u$ (стремящемся к константе, или что там с учётом изменения $\gamma$), а об $a$ - именно $a$ стремится к бесконечности.

r0ma в сообщении #637999 писал(а):

Теперь гамма меньше гамма нуль. Ну тут просто со временем все зародыши распадутся и опять же (100.5) не выполняется

Эта фраза в ЛЛ-10 мне не нравится. То есть, это было бы так, если бы $\gamma$ было константой $\gamma(\tau)=\mathrm{const}<\gamma_0.$ Но поскольку $\gamma$ меняется, то заявлять, что что-то там происходит за конечное время - нельзя. Может, и за бесконечное. Авторы могли и поаккуратней сформулировать, и подробней сказать.

r0ma в сообщении #637999 писал(а):

Мои рассуждения на данном этапе верны?

Вроде да, но всё это настолько совпадает с текстом ЛЛ-10, что я не понимаю, почему это ваши рассуждения :-)

-- 31.10.2012 15:17:52 --

Ох, вы меня обгоняете... :-) Конкретно по взятию интеграла я вряд ли помогу, наделаю ошибок больше вашего, проще спросить на математическом разделе форума.

[r0ma]

Munin
Прошу прощения за то, если мои слова почти совпали с ЛЛи я назвал их своими. Просто как это я делал. Прочел раз ЛЛ, вроде понял. Закрыл его и через некоторое время описал здесь то понимание, которое у меня осталось. Если оно почти дословно совпало с ЛЛ, то я это неспециально. Так получилось. Ладно по поводу интеграла. Хотел бы ещё услышать Ваше пояснение к моему вопросу по поводу \eta и функциям распределения.

[Munin]

r0ma в сообщении #638234 писал(а):

Далее вопрос. В ЛЛ написан (опечаткой в новом издании): перейдём к вычислению функц. распр-я зёрен по размерам. ФР в переменных u, \tau связана с ФР в переменных t, a след. образом:

$$\varphi(\tau, u)du=f(t,a)da,\ \ \ f=\frac{\varphi}{a_k}.$$

Тут мне непонятно следующее. Почему $f=\frac{\varphi}{a_k}$?

Это правило перевода функций распределения в новые координаты. Если берут скалярную функцию, и переводят в новые координаты, то надо только сделать замену переменных в аргументе функции. Но функция распределения - это не скаляр, а плотность. От одной к другой системе координат должна сохраняться не сама величина этой функции, а её интеграл, здесь $\int f\,da.$ Отсюда делают вывод, что надо приравнивать подынтегральные выражения, $\varphi\,du=f\,da.$ А дальше, делят один дифференциал на другой (в случае многих переменных, вычисляют якобиан преобразования), так что получается
$\varphi=f\dfrac{da}{du}.$
А это уже мы знаем, чему равно это частное дифференциалов, это $a_\text{к}.$ То есть, рядом записано не второе уравнение какой-то системы, а моментально полученное следствие.

-- 31.10.2012 16:00:31 --

r0ma в сообщении #638244 писал(а):

Прошу прощения за то, если мои слова почти совпали с ЛЛи я назвал их своими. Просто как это я делал. Прочел раз ЛЛ, вроде понял. Закрыл его и через некоторое время описал здесь то понимание, которое у меня осталось. Если оно почти дословно совпало с ЛЛ, то я это неспециально. Так получилось.

А. Да не извиняйтесь вы на каждый чих. В общем, всё правильно, но нюансы зашумлены. И вообще, впечатление такое, что вы просто следуете букве текста, не отклоняетесь от неё ни вправо, ни влево, как будто боитесь. А для полного понимания, что там написано, надо наоборот, проработать каждый кусочек внимательно, покрутив во все стороны. Это такой стиль текста, где изложен только скелет рассуждений, а многое оставлено на самостоятельную работу. В учебном смысле это трудный для понимания стиль, зато он позволяет компактно давать большие объёмы теории, так что чем дальше от учебников к монографиям и оригинальным статьям, тем больше этот стиль вам будет встречаться.

[r0ma]

Munin
Спасибо! Стало яснее. А вопрос по поводу $\eta_0$ меня ещё беспокоит. Почему они взяли вдругасимптотическое значение эта? А так же как и в случае с гамма не сделали поправку малую? Ведь случай точного равенства эта, как и гамма, физически невозможен...

[r0ma]

Да, ещё, завозившись с интегралом забыл один вопрос. Откуда видно, что решение уравнения (100.16) есть

$$\varphi(\tau,u)=\frac{\chi(\tau-\tau(u))}{-v_u}?$$

Мне это совершенно неочевидно.

-- Ср окт 31, 2012 21:16:38 --

И почему ещё в (100.9) мы решили обособить $u^3$, а не u? И соответственно исследование делаем для $u^3$.

-- Ср окт 31, 2012 21:20:49 --

Ну и совсем пока последний вопрос . Почему пересыщение $\Delta$ стремится в нуль, при время в бесконечность?

[r0ma]

Munin
большое спасибо, что поработали со мной! Семинар прошёл. Что-то получилось, что-то нет. В частности, вопрос про эта с ноликом всплыл. Лично я, как ни думал, так и не нашёл на него внятного исчерпывающего ответа. Поэтому и ответить на него особо не получилось. Точнее, не получилось. А так, в общем-то, всё хорошо. Спасибо!

[Munin]

r0ma в сообщении #638695 писал(а):

Семинар прошёл.

Учебный или научный?

r0ma в сообщении #638695 писал(а):

А так, в общем-то, всё хорошо. Спасибо!

Ну что, бросаете разбираться?

[r0ma]

Munin в сообщении #638752 писал(а):

Учебный или научный?

Учебный. Локальный такой. Преподаватель, видимо, не захотел возится со всей математикой. Качественно лишь объяснил, что происходит, а по математике, говорит, если кому интересно можно семинар провести. Я подумал почему бы и нет. Только он предложил в качестве литературы лишь ЛЛ, что внесло некую смуту в моё тихое согласие с самим собой взяться за семинар. Попросил оригинальную статью. Он говорит она очень давнишняя. В ЖЭТФ нет в электронном варианте, наверное, говорит. Ну ладно. ЛЛ, так ЛЛ. А статья и правда 58 года. Старенькая.

Munin в сообщении #638752 писал(а):

Ну что, бросаете разбираться?

Вообще-то, мне, как физику, хотелось бы довести задачу до конца. Т.е. сейчас главные проблемы именно в математике, а не в физике. Почему ЛЛ обособляет именно $u^3$ вроде стало ясно: косвенно $u^3$ - это объём зародыша. Т.е. мы получаем уравнение, фактически, не на радиус, а на объём. Но даже с преподавателем (он говорит, что сам разбирал досконально это давно, вот хотел ещё раз послушать) и немногим количеством студентов, которые почти все (кроме одного) сидели как мыши и не задали ни одного вопроса, что меня очень огорчило, так и не поняли почему при, фактически, абсолютно одинаковых рассуждениях для уравнений на u^3 и z мы в первом случае берём не точное значение, а отклонение, а во втором случае (на z) берём точно асимптотическое значение (вопрос, кстати, задал именно преподаватель, а не студенты). Для себя я пытался объяснить это банально и неправильно: нам нужна зависимость $\varepsilon$ от $\tau$. Если возьмём точно значение для $\eta$ зависимость явным образом будет найдена. Что делать если опять сделать отклонение как и в первом случае непонятно. А в первом случае мы не могли брать точное значение, т.к. наверняка $\gamma$ как-то должна зависеть от времени. Но это объяснение меня совершенно не удовлетворяет. Фактически, оно ничего не объясняет. Это как отговорка. Оно не физично. С грехом пополам $a_k \propto t^{1/3}$ я понял. А вот объяснение на общее кол-во частиц я пока в мат. плане вообще не понимаю. В мат. разделе создал тему. Там по одному из вопросов наводку дали. Но пока не разбирался. Надо научную работу чуть подогнать. А потом вернусь ко второй части этого параграфа. Повожусь с математикой. Физика там вроде так-то ясна.

[Munin]

r0ma в сообщении #638919 писал(а):

Только он предложил в качестве литературы лишь ЛЛ, что внесло некую смуту в моё тихое согласие с самим собой взяться за семинар. Попросил оригинальную статью. Он говорит она очень давнишняя. В ЖЭТФ нет в электронном варианте, наверное, говорит. Ну ладно. ЛЛ, так ЛЛ. А статья и правда 58 года. Старенькая.

Стоило по другим учебникам покопаться, не стоит опираться на один источник. Часто пересказ другими словами сильно помогает понять тёмные места.

(Оффтоп)

r0ma в сообщении #638919 писал(а):

...немногим количеством студентов, которые почти все (кроме одного) сидели как мыши и не задали ни одного вопроса

Ну, студенты - это не зубры, которые могут слёту включиться в обсуждение чего-то, что им было только что представлено. Но можно попробовать провести два семинара, на втором должна быть побольше активность. Если им, конечно, не сказали уже, что они могут всё это спокойно забыть :-)

[r0ma]

Munin в сообщении #638928 писал(а):

Стоило по другим учебникам покопаться, не стоит опираться на один источник. Часто пересказ другими словами сильно помогает понять тёмные места.

Я это понимаю. Но препод не дал другой лит-ры. Хотя в этом и моя вина. Откровенно говоря, я сам и не спрашивал у него ничего кроме оригинальной статьи. Это 1ое просто что в голову пришло. А сам я по этой теме лит-ру-то не знаю. Вики вроде не особо что даёт. Ту же ориг. статью, да тот же ЛЛ. Правда может есть учебники на английском по этой тематике хорошие?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #638928 писал(а):

Ну, студенты - это не зубры, которые могут слёту включиться в обсуждение чего-то, что им было только что представлено. Но можно попробовать провести два семинара, на втором должна быть побольше активность. Если им, конечно, не сказали уже, что они могут всё это спокойно забыть

Ну так а я почему тогда пытаюсь спрашивать? Раз тема есть, то начать можно уже просто с вопросов по формулировке задачи, т.к. я не уверен, что кто-либо может равнопонятно для всех поставить задачу. Ну а дальше уже стараться вникать и тогда вопросы-то сами собой появятся.