Фактор-группа

[ИСН]

Так может, тогда построение должно начинаться словами "Возьмём группу ... и её подгруппу ... Получатся такие-то смежные классы (какие, сколько)..."

[Andrei94]

Ну попробую. Возьмем группу $G$ и ее подгруппу $H$, для которой $aH=Ha$ (то есть подгруппа нормальная, так как правый смежный класс совпадает с левым). А какая разница - сколько смежных классов?

Определим умножение классов следующим образом $(aH)(bH)=abH$

А вот дальше я не понимаю(

[mihailm]

Andrei94 в сообщении #638502 писал(а):

...для которой $aH=Ha$ ...

буква $a$ это что?

[arseniiv]

Сами смежные классы в конкретном случае (про $\mathbb Z$) перечислите. Они же из чего-то состоят, верно? Какой что содержит?

[Andrei94]

mihailm в сообщении #638517 писал(а):

Andrei94 в сообщении #638502 писал(а):

...для которой $aH=Ha$ ...

буква $a$ это что?

Некоторый элемент группы $G$

arseniiv в сообщении #638521 писал(а):

Сами смежные классы в конкретном случае (про $\mathbb Z$) перечислите. Они же из чего-то состоят, верно? Какой что содержит?

Если вы имеете ввиду тот пример про делимость на $m$. Я его так понимаю:

Пусть $m\in\mathbb N$.

Возьмем в $G$ подгруппу $H$ с операцией сложения $H=\{0,1,2,3,4,...\}$

Тогда $m\cdot H=\{0,m,2m,3m,...\}$ будет левым смежным классом, притом $m\cdot H=H\cdot m$

В том примере это было обозначено $mZ$ - верно?

Верно ли начал?

[arseniiv]

$\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ — не подгруппа. Где там обратный к 2 элемент?

[ИСН]

Я бы для ясности секвестрировал излишне развесистые обозначения. Ваша группа называется $\mathbb Z$. Подгруппа тоже как-то там называется.

-- Чт, 2012-11-01, 00:08 --

И - да, разберитесь, собственно, что за подгруппа.

[Andrei94]

Да, лучше обратные элементы захватить...

Можно в качестве подгруппы взять $H=\mathbb Z$

$m\cdot H=\{0,\pm m,\pm 2m, \pm 3m,...\}$ будет левым смежным классом, притом $m\cdot H=H\cdot m$

[ИСН]

Если подгруппа равна самой группе, то...
Постойте, а как Вы понимаете, что такое смежный класс?

-- Чт, 2012-11-01, 00:42 --

Ну то есть да, это $m\cdot H$, но что значит "∙"?

[Andrei94]

ИСН в сообщении #638560 писал(а):

Если подгруппа равна самой группе, то...
Постойте, а как Вы понимаете, что такое смежный класс?

-- Чт, 2012-11-01, 00:42 --

Ну то есть да, это $m\cdot H$, но что значит "∙"?

Умножить

[ИСН]

Перечитал определение группы - не нашёл слова "умножить". Что значит умножить? Да, числа можно множить, но ведь группа необязательно состоит из чисел. А все эти понятия (подгруппа, смежный класс и т.д.) приложимы к группам любой природы.

[Andrei94]

Для элемента $g \in G$ левый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $gH= \{gh|h\in H\}$.

-- 31.10.2012, 23:53 --

ИСН в сообщении #638565 писал(а):

Перечитал определение группы - не нашёл слова "умножить". Что значит умножить? Да, числа можно множить, но ведь группа необязательно состоит из чисел. А все эти понятия (подгруппа, смежный класс и т.д.) приложимы к группам любой природы.

Просто в данном случае - это умножить

$m\cdot H=\{0,\pm m,\pm 2m, \pm 3m,...\}$

В в других случаях может быть другая бинарная операция...

[ИСН]

Ещё лучше. Теперь без точечки. Ну и что же это такое - $gh$?

-- Чт, 2012-11-01, 00:54 --

Откуда Вы взяли, что это умножить? Почему? Кто сказал? Как понять в общем случае?

-- Чт, 2012-11-01, 00:59 --

Что у нас была за группа? Ах да, $\mathbb Z$. Что у нас была за операция в группе?

[Andrei94]

В общем случае это зависит от того, какая операция задана на группе. Видимо следовало задать умножение?

[ИСН]

Какая операция у нас была задана на группе? И как это от неё зависит?