Функан, найти норму оператора

[elle]

Помогите доказать ограниченность и найти норму:


(Ax)(t)=1+\int\limits_0^1x(s)ds


x принадлежит L1[0,1], Ax принадлежит C[0,1]
не могу понять куда девать единицу.

TIA!

[Dan_Te]

Да, странноватый оператор какой-то с этой единицей получается. Если предположить, что единица - не константа, а тождественный оператор, то тоже не прокатывает...
Самое смешное, что интеграл-то всегда будет давать число. То есть, слева от знака равенства у вас написано, что $Ax$ зависит от $t$, а справа нигде нет зависимости ни от какой переменной.

А давайте, может, лучше единицу уберем, и в верхнем или нижнем пределе интегрирования поставим $t$?

[finanzmaster]

Dan_Te писал(а):

Да, странноватый оператор какой-то с этой единицей получается.

Угу, она же делает его НЕлинейным.
А что, нелинейные операторы тоже [при определенных условиях] образуют нормированое пространство?

Добавлено спустя 6 минут 23 секунды:

Dan_Te писал(а):

... и в верхнем или нижнем пределе интегрирования поставим t ?

Угу, иначе условние

$$ Ax \in C[0,1] $$

просто не выполняется

[elle]

Нет, пример правильный. Я подумала, что может быть просто оператор не ограничен. Не существует такой константы, чтобы выполнялось неравенство...

А вот еще пример, который я тоже не знаю как решить.

(Ax)(t)=\sum_{i=1}^\infty \xi_n t^n

x принадлежит l_\infty, а Ax принадлежит C[0,1/2]

[Dan_Te]

elle писал(а):

Ну когда мы вычисляем норму Ax, то уже есть зависимость от t, потому что норма в C[0,1] будет max, t принадлежит [0,1] от выражения функции.

Это глупости.

Краткое руководство по тегу math - ссылка наверху страницы, там и про ниэние индексы, и про верхние - про все есть.

[нг]

elle
Поправьте, пожалуйста, формулы и цитаты в Вашем сообщении. Кнопка находится правом верхнем углу сообщения.

[elle]

to Dan_Te... глупости так глупости. я уже с первым примером разобралась.

Второй не знаю как решить.

[Dan_Te]

elle писал(а):

я уже с первым примером разобралась

Интересно, как?

[Brukvalub]

elle писал(а):

А вот еще пример, который я тоже не знаю как решить.

(Ax)(t)=\sum_{i=1}^\infty \xi_n t^n

x принадлежит l_\infty, а Ax принадлежит C[0,1/2]

И неудивительно, что не знаете, как решать. Этого никто не знает, пока в условии задачи не будет указана связь между объектом х и последовательностью \xi_n. Но, если включить воображение, то напрашивается ответ: норма равна 1 и достигается на последовательности, все члены которой равны 1.

[elle]

to Brukvalub... x=(\xi_n)_1^\infty

А можно поподробнее решение, пожалуйста? Я имею в виду шаги, по которым была найдена норма.

[Brukvalub]

elle писал(а):

Я имею в виду шаги, по которым была найдена норма

А какие там могут быть шаги? Норма оператора определяется как супремум норм образов векторов из единичной сферы при действии этого оператора. Почти очевидно, что этот супремум достигается на указанной мной последовательности (детали Вы легко додумаете сами).