Геометрическая задачка

[neo66]

Встретилась такая олимпиадная задача, не слишком простая, впрочем.

В треугольнике $ABC, AC=1$, на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны соответственно точки $P$ и $Q$ такие, что $AP=CQ=1$. При этом оказалось, что точка пересечения прямых $AQ$ и $CP$ принадлежит вписанной окружности. Найти периметр треугольника $ABC$.

[Паляна]

Если склероз не изменяет то это питерская олимпиада

Добавлено спустя 5 минут 10 секунд:

Когда мелкий был помню размочил через фигню всякую
те сия точка пересечения это диаметрально противоположная точке касания впис окр
=>B, ета точка и точка касания вневписанной окр стороны AC лежат на одной прямой
Дальше возня была помню

[kitkat_m]

готовлюсь к школьной олимпиаде, если пройду, есть возможность поступить на бюджет... А в голову, как на зло не лезет ничего... Помогите додуматься! Высота конуса разделина на три отрезка равной длины и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, разбивающие конус на три части. Найти оъём срадней части в куб. см., если объём заданного конуса равен 135 куб. см.

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

Как от сюда выразить высоту и радиусы усечённого конуса? Подскажите, пожалуйста!

[Brukvalub]

Проще использовать тот факт, что отношение объемов гомотетичных тел равно кубу коэффициента гомотетии.

[kitkat_m]

Простите, учусь в украинской школе, понятия на русском языке не знаю, не могли бы вы выразить формулой.

[neo66]

Обозначим, объем верхней части конуса через $V$. Чему равен объем всего конуса?

[kitkat_m]

В задаче сказано, что объём всего конуса равен 135 куб. см

[Brukvalub]

Почитайте про гомотетию, например, здесь: http://www.fago.ru/13/ref-5115.html

kitkat_m писал(а):

В задаче сказано, что объём всего конуса равен 135 куб. см

Выше neo66 просил Вас выразить объем всего конуса через объем его верхней части и коэффициент гомотетии, а не прочесть ему еще раз условие задачи.

[kitkat_m]

Есле я правильно поняла, Vвсего=3V

[Brukvalub]

Нет, 27V. Коэффициент гомотетии следует возвести в куб.

[kitkat_m]

катеты прямоугольного треугольника b=корень из 2 см, с=3 корень из 2 см. Найти длину биссектрисы прямого угла.
направте на путь истинный!
Сперва я нашла гипотенузу, затем по свойствам биссектрисы (из треугольника АВС, где АВ и АС - катеты, ВС- гипотенуза, АК- биссектриса) ВС/ВК=АВ/АК. Имею две неизвесные ВК и АК. Подскажите как найти ВК.

[sadomovalex]

возрващаясь к исходной задаче топика..
Рисунок:

Сначала докажем что $BL = p - AC$, где $p$ - полупериметр $\triangle ABC$. Для этого используем тот факт, что длины касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, т.е. $BK=BL, AK=AM, CL=CM$:
$2p=AB+AC+BC=BK+AK+AM+CM+CL+BL=2BL+2AM+2CM=2BL+2(AM+CM)=2BL+2AC\Rightarrow$
$\Rightarrow BL=p-AC$
Теперь докажем, что точки $E$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой. Точка O - центр вписанной окружности - лежит на пересечении медиан $\triangle ABC$, которые являются высотами $AS$ и $CU$ равнобедренных треугольников $AQC$ и $APC$. Следовательно точка $O$ является ортоцентром треугольника $AEC$, а значит высота, проведенная из вершины $E$ также проходит через $O$. Таким образом точка $E$ пересечения отрезков $AQ$ и $CP$, центр вписанной окружности $O$ и точка касания вписанной окружности стороны $AC$ лежат на одной прямой.
Т.к. $\triangle APC$ и $\triangle AQC$ равнобедренные, $\smile{KE}=\smile{RM}$ и $\smile{EL}=\smile{NM}$. По доказанному выше точки E и M - диаметрально противоположные, следовательно $\smile{ELRM}=\smile{MNKE}$, т.е.
$\smile{EL}+\smile{LR}+\smile{RM}=\smile{MN}+\smile{KN}+\smile{KE}\Rightarrow$
$\Rightarrow \smile{KN}=\smile{LR}$.
Т.о. получили, что $\smile{LR}+\smile{RM}+\smile{MN}=\smile{LRMN}=$$\smile{NKEL}=\smile{NK}+\smile{KE}+\smile{EL}$. Следовательно, точки N, O и L также лежат на одной прямой. Т.о. точку A можно рассматривать как центр гомотетии, переводящей вписанную окружность треугольника $ABC$ во вневписанную, касающейся стороны $BC$ в точке Q. Значит точки Q и L - точки касания стороны BC вписанной и вневписанной окружности. Следовательно $BL=QC=1$ (www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55483).
Из доказанного выше равенства имеем:
$1=BL=p-AC=p-1\Rightarrow p=2\Rightarrow$ периметр $\triangle ABC=4$.
Фуу, вроде все

[neo66]

У меня получился тот же ответ.