Теория возмущений: вероятность осциллятору иметь энергию n

[Sergey K]

И так, в результате удара группа атомов, каждый из которых представляет трехмерный осциллятор и описывается главным квантовым числом $n_i=n_x_i+n_y_i+n_z_$i, определяющее энергию как $E=\omega(n+3/2)$ выходит из основного состояния c n=0 в результате почти мгновенного удара.

$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$
$\hat{H}\Psi=(\hat{H_0}+\hat{V})\Psi=E\Psi$

Собственно, зная E можно найти $\Psi$, получив вероятность пребывания системы в состоянии с n. Выражать энергию будем через полученный импульс. И вот тут встает проблема: примеров в общем виде много, а вот варианта, чтоб было конкретно показано что дальше и как делать не нашел.

Для связанной системы будем иметь что-то вроде:

$\omega_n=\sum c_n\Psi(q_1,q_2,q_3....)$

Где можно подсмотреть пример, как находится нормирующий коэффициенты, и собственно сама функция? Находил либо рассуждения в общем виде, либо расчет вероятности конкретных переходов.

[Sergey K]

Помогла разобраться эта работа, можно не отвечать. Но если кто подкинет еще примеров, буду благодарен.

[Munin]

Не открой я ссылку, нипочём бы не догадался, что речь о куске твёрдого тела.

-- 01.11.2012 14:09:24 --

Уравнение (4) там как-то странно записано, но оно нигде не используется, а дальше с уравнения (5) опять нормально.

[Munin]

На с. 2 (162) вверху второй колонки, максимум определяется по рисунку, странно что не аналитически (функцию $q^n\exp(-q)$ нетрудно продифференцировать).

Самое неприятное на той же странице дальше. Из курса ФТТ известно, что атомы в твёрдом теле - сильно связанные осцилляторы, а переход к слабо связанным (в пределе свободным) осцилляторам даётся фононным представлением. Фононы образуют непрерывный спектр, с частотами заполняющими диапазон от нуля и до величин порядка частот атомных осцилляторов, сгруппированными в акустическую и оптические зоны. Из-за этого возбуждения возникают на любых скоростях, для любых скоростей найдётся такая энергия фонона, для которой вероятность его возбуждения высока, и кроме того, для осцилляторов с более низкой энергий будут существенными переходы на уровни выше первого (много фононов).

Рассуждения (8)-(10) правдоподобны, но критическое отклонение атома наступает в нелинейной области амплитуд, во всех реалистичных случаях существенно дальше первого возбуждённого уровня, так что использование (7) для (10), и вывод из него (11) некорректны. Частота (12) вообще лишена физического смысла, как и её сравнение с частотами инфракрасного спектра. Выводы статьи (с. 4 (162) последний абзац) совершенно необоснованы.

[Sergey K]

Спасибо за комментарии, они весьма полезны, однако главное для меня - пример преобразований. (4) поставило в тупик и я еще поломаю над этим голову.

[Munin]

Я бы (4) написал в таком виде:

$$\Psi^1_n(x,0)=\exp\left[-\dfrac{imv}{\hbar}x\right]\Psi_n(x,0)\eqno(4\text{ corrected}),$$

после чего $\Psi^1_n(x,0)$ надо раскладывать по базису $\Psi_i(x,0).$ А то получается, что одно базисное состояние переходит в одно базисное же, что очевидно неверно.