Комплексные векторные пространства, категории

[xmaister]

Рассмотрим категории всех конечномерных комплексных и вещественных векторных пространств $\mathscr{C}$ и $\mathscr{R}$ соотвественно. Можно рассмотреть сопостовление: для всякого $V\in\mathrm{Ob}\mathscr{C}$, $\mathrm{dim}V=n$ поставим в соотвествие $W\in\mathrm{Ob}\mathscr{R}, \mathrm{dim}W=2n$ естественным образом. Такое сопоставление функториально?

[apriv]

Пока что Вы как-то странно определили это сопоставление на объектах (что значит «естественным образом»?) и вообще не определили его на морфизмах, так что говорить о функториальности не приходится.

[xmaister]

Пусть $x_1,x_2,\ldots ,x_n$- базис в $V$. Тогда $x_1,x_2,\ldots ,x_n, ix_1,ix_2,\ldots ,ix_n$ -базис в $W$. Не могу прикинуть, как задать соответствие на морфизмах. Вообще, когда говорят, что всякое комплексное вектороное пространство размерности $n$- вещественное размерности $2n$. Как это понимать? Нужно, наверное, функториально их сопоставить?

[Xaositect]

xmaister в сообщении #637879 писал(а):

Не могу прикинуть, как задать соответствие на морфизмах.

Здесь как-то даже неудобно рассматривать $V$ и $W$ как разные пространства (хотя формально это и так).

Любое комплексное пространство автоматически удовлетворяет аксиомам действительного пространства, если ограничить умножение с $\mathbb{C}\times V$ на $\mathbb{R}\times V$. И любое $\mathbb{C}$-линейное преобразование автоматически явлетcя $\mathbb{R}$-линейным. Так что сопоставлять пространству надо его само с ограниченным умножением, а морфизму - тоже самого себя. И да, это будет функтор. Очень похож на забывающий функтор.

[xmaister]

Во как! Спасибо!

[apriv]

xmaister в сообщении #637879 писал(а):

Пусть $x_1,x_2,\ldots ,x_n$- базис в $V$.

Да, вон там Вам подсказывают, как нужно определять такой функтор, а базисов никаких брать не нужно, ни в коем случае, потому что тогда придется проверять независимость от выбора базиса.

[xmaister]

apriv в сообщении #637924 писал(а):

придется проверять независимость от выбора базиса.

Да, действительно, это ни к чему. Но независимость от выбора базиса все равно будет.