Предел последовательности

[Mitrius_Math]

Есть подозрение, что

$$\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln (n+1)}{\ln (n+2)}}=1$$

Но как это доказать? Как вычислить этот предел? Пробовал применять теорему Штольца, но ничего хорошего не вышло.

[EtCetera]

(Оффтоп)

Неужели эпидемия?

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\ln (n+1)}{\ln (n+2)}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1+\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n}}{1+\frac{\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\ln n}}$
Это если нельзя пользоваться Л.

[Sonic86]

Верно также и то, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln ... \ln (n+a)}{\ln ... \ln n}=1$

[gris]

Sonic86, надеюсь, что количество логарифмов постоянно

[Sonic86]

gris в сообщении #637574 писал(а):

Sonic86, надеюсь, что количество логарифмов постоянно

Да, одно и то же.

Для док-ва и там и тут можно просто использовать асимптотику $\ln ... \ln (n+a)\sim \ln...\ln n$, если мы это, конечно, уже знаем.

[Mitrius_Math]

EtCetera в сообщении #637558 писал(а):

Это если нельзя пользоваться Л.

Это вы о чём? Какое правило Лопиталя? Разве оно применимо для пределов последовательностей?

[nnosipov]

Mitrius_Math в сообщении #637591 писал(а):

Какое правило Лопиталя? Разве оно применимо для пределов последовательностей?

А Вы найдите предел функции (он же здесь существует), после чего предел последовательности получите уже бесплатно.

[Mitrius_Math]

nnosipov в сообщении #637608 писал(а):

А Вы найдите предел функции (он же здесь существует), после чего предел последовательности получите уже бесплатно.

Понятно. Из существования $\lim_{x \to \infty}f(x)=L_1$ следует существование $\lim_{n \to \infty}f(n)=L_2$, причём $L_1=L_2$.