2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перестановка предела с минимумом
Сообщение29.10.2012, 17:59 


15/03/11
20
Москва
Интересует вопрос о перестановке предела и минимума: $f(x,t):\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \ \ t \in (0; +\infty), \ \  x \in [a, b].$
Существует ли достаточное условие на фунцию $f(x,t)$ для равенства: $\min\limits_{x \in [a, b]}\lim\limits_{t \to +\infty} f(x,t)=\lim\limits_{t \to +\infty}\min\limits_{x \in [a, b]}f(x,t)?$
Какую литературу на эту тему можно почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановка предела с минимумом
Сообщение29.10.2012, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Если говорить о непрерывных функциях, то $\lim\limits_{t \to +\infty} f(x,t)=g(x)\in C_{[a,b]}$, вроде бы, достаточно. Иначе легко придумать пример, когда все пределы существуют, но минимум в левой части не достигается. Впрочем, если заменить минимум на инфимум, то достаточно существования пределов (?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановка предела с минимумом
Сообщение29.10.2012, 18:56 


15/03/11
20
Москва
Ну вот вроде не достаточно $\lim\limits_{t \to +\infty} f(x,t)=g(x)\in C_{[a,b]}$, так как, вообще говоря $\lim\limits_{t \to +\infty}\min\limits_{x \in [a, b]}f(x,t)=\lim\limits_{t \to +\infty}h(t)\neq\min\limits_{x \in [a, b]}g(x).$

-- Пн окт 29, 2012 19:11:09 --

Достаточно ли чтобы $f(x,t)$ была равномерно непрерывна на $(0;+\infty)\times [a;b]$ и существовал один из пределов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановка предела с минимумом
Сообщение29.10.2012, 22:23 


15/03/11
20
Москва
В одну сторону очевидно: $\forall x \in [a;b]: \ h(t)\leq f(x,t)$. Переходя к пределу при $t \to +\infty:\ \forall x \in [a;b]: \ \lim\limits_{t \to +\infty}h(t)\leq \lim\limits_{t \to +\infty}f(x,t).$
Взяв минимум от обеих частей получим: $\lim\limits_{t \to +\infty}\min\limits_{[a;b]}f(x,t)\leq \min\limits_{[a;b]}\lim\limits_{t \to +\infty}f(x,t).$

-- Пн окт 29, 2012 22:45:06 --

Из изложенного родилась идея. Пусть $\forall x \in [a;b]: f(x,t)$ не возрастает по $t$. Тогда $\forall x \in [a;b]: g(x) \leq f(x,t).$ Взяв минимум от обоих частей получим: $\min\limits_{[a;b]}g(x)\leq \min\limits_{[a;b]}f(x,t).$ То есть $\min\limits_{[a;b]}\lim\limits_{t \to +\infty}f(x,t)\leq h(t).$
Переходя к пределу в обоих частях: $\min\limits_{[a;b]}\lim\limits_{t \to +\infty}f(x,t)\leq \lim\limits_{t \to +\infty}\min\limits_{[a;b]}f(x,t).$

-- Пн окт 29, 2012 22:46:25 --

Проверьте пожалуйста правильность моих рассуждений. Может я ошибаюсь).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group