Неопределенный интеграл

[Limit79]

$\int \frac{x \cdot arctg(x)}{1+x^2} dx$

Возможно ли выразить через элементарные функции? А то чет вообще мыслей нет. По идее, данный интеграл не должен быть сложным.

Думаю, что в условии таки опечатка, и имелось ввиду: $\int \frac{ arctg(x)}{1+x^2} dx$

Но может возможно исходный интеграл найти?

[vlad_light]

Вольфрам пишет, что нельзя...

[Limit79]

vlad_light
Ага, я проверял через него, поэтому и создал тему тут.

[Munin]

Допустим, вы стартуете от $\int\frac{\arctg x}{1+x^2}dx,$ и вносите $\arctg x$ под дифференциал. Тогда у вас получается два слагаемых, одно из которых как раз $\int\frac{x\arctg x}{1+x^2}dx.$ Всё ерунда...

[Limit79]

Munin
Арктангенс? Я вношу $\frac{1}{x^2+1}$.

-- 28.10.2012, 22:30 --

Если внести $\arctg(x) $ под дифференциал, далее по частям, то у меня не получается одно из слагаемых в виде исходного интеграла.

[Munin]

Munin в сообщении #637054 писал(а):

Допустим, вы стартуете от $\int\frac{\arctg x}{1+x^2}dx,$ и вносите $\arctg x$ под дифференциал. Тогда у вас получается два слагаемых, одно из которых как раз $\int\frac{x\arctg x}{1+x^2}dx.$

Я ерунду написал. Второе слагаемое тогда будет неберущееся. Всё ерунда...

-- 28.10.2012 22:37:06 --

Limit79 в сообщении #637057 писал(а):

далее по частям, то у меня не получается одно из слагаемых в виде исходного интеграла.

Значит, я совсем ерунду написал. Не обращайте на меня внимания.

-- 28.10.2012 22:45:27 --

В Градштейне-Рыжике написано:
2.856:

$$\int\frac{x\arctg x}{1+x^2}\,dx=\frac{\,1\,}{2}\arctg x\ln\,(1+x^2)-\frac{\,1\,}{2}\int\frac{\ln\,(1+x^2)\,dx}{1+x^2}$$

Видимо, это значит, что интеграл на самом деле неберущийся, а не Вольфраму силёнок не хватает.

[Limit79]

Munin
Да, действительно. А не подскажите, что там за сноска напротив этого примера? T(689)

[ewert]

Там после взятия арктангенса за новую переменную получается интеграл типа $\int t\cdot\tg t\,dt$. Естественно, он не берётся; с какой стати-то?...

[Munin]

Limit79 в сообщении #637113 писал(а):

А не подскажите, что там за сноска напротив этого примера? T(689)

Скорей всего, на список литературы, кто там впервые это доказал.

[Limit79]

Понятно. Спасибо, господа.

[arseniiv]

Munin в сообщении #637063 писал(а):

Видимо, это значит, что интеграл на самом деле неберущийся, а не Вольфраму силёнок не хватает.

В том и дело, что хватает — получается сумма с полилогарифмом (как раз второй интеграл при интегрировании по частям).