Помогите с задачкой

[Egor]

Помогите решить

С высоты 25 м свободно падает тело с ускорением, обусловленным силой тяжести сопротивлением воздуха. Общее ускорение
$ a = g-kv^2 , $где g = 9,81 м/с^2, k = 0,3 $м^{-1}, а v $– скорость падения. Найдите скорость тела при падении на землю.

Спасибо заранее.

[Dan_Te]

Для начала, наверное, надо составить диффур для скорости $v(t)$ и решить его. Собственно, диффур у вас практически написан.

Потом проинтегрировать скорость и найти время $t_0$, за которое тело пройдет расстояние 25 метров. Ну а затем просто подставить и вычислить $v(t_0)$. По идее, должно получиться.

[Egor]

Спасибо, делаю:
$ \frac {dV} {dt} = g-kV^2$; это частный случай уравнения Риккати (см. Справочник Э.Камке, стр.310) $ \dot V + kV^2 = g. $
Поскольку kg>0 и в начальный момент V=0, решение имеет вид:
$ V = \frac {g\th{\sqrt {kg}}(t)} \sqrt{kg} $, тогда $ V = 5,356 t ;$ и ускорение $a=5,356 m/s^2$.
Находим время, за которое тело пролетит 25 м: $ t = \sqrt{\frac {2*25} {5,356}} = 3,055 c $, а затем и скорость: V = 5,356*3,055 = 16,363 м/с.
Всё вроде хорошо, если выбрано правильное решение диффура.

[Egor]

Однако, ошибка. В общем решении, на самом деле, время под щангенсом.
В общем, пока получить выражение для скорости или ускорения без входящего в них времени не получается, а без этого найти t0 никак. Подскажите пожалуста, как быть?

[Андрей123]

Уравнение движения можно написать в виде $\frac{d(v^2/2)}{ds}=g-kv^2$. Где s-высота. Интегрируете и находите то, что нужно.

[Архипов]

Egor писал(а):

Помогите решить

С высоты 25 м свободно падает тело с ускорением, обусловленным силой тяжести сопротивлением воздуха. Общее ускорение
$ a = g-kv^2 , $где g = 9,81 м/с^2, k = 0,3 $м^{-1}, а v $– скорость падения. Найдите скорость тела при падении на землю.

1 способ, школьный. Сила сопротивления равна силе тяжести mg=mkv^2, откуда предел скорости равен v=(g/k)^0,5 =5,7 [м/с]. При a=g для этого понадобится не более 1 секунды, а высота такова, что время падения не меньше 2,5с. Значит - скорость к моменту удара о землю уже достигнет предела 5,7 м/с.

2 способ, студенческий. Посмотрите на стр.3 форума Механика ветку "Тема для дипломной работы". Формула получится v(x)=(g/k)^0,5*(1-e^-2kx)=5,72 м/с.