Неравенсво от двух переменных

[arqady]

Для положительных $a$ и $b$ докажите, что:

$$a^a+b^b\geq\frac{a^2+b^2}{2}+1$$

[xmaister]

Может я что-то не понял, но вроде в лоб делается
$a^a(\ln a+1)-a=0\Leftrightarrow a=1$, откуда $a^a-\frac{a^2}{2}\ge\frac{1}{2}$

[arqady]

А вот это:
Для положительных $a$ и $b$ таких, что $a+b=2$, докажите, что:

$$a^a+b^b\geq a^2+b^2$$

[xmaister]

А это следует из первого и убивается Штурмом. Рассмотрим функцию $f(x,y):K\to\mathbb{R}, (x,y)\mapsto x^x+y^y-x^2-y^2$, где $K=\{(x,y)|x+y=2,x,y>0\}$. $K$- очевидно, компакт. Пусть $a,b$- такие, что $a<1<b,a+b=2$. $f(a,b)=a^a+b^b-a^2-b^2$, $x<1-a$. Имеем $f(a+x,b-x)=(a+x)^{a+x}+(b-x)^{b-x}-(a+x)^2-(b-x)^2$, $f(a,b)-f(a+x,b-x)=a^a+b^b+(a+x)^2+(b-x)^2-a^2-b^2-(a+x)^{a+x}-(b-x)^{b-x}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{(a+x)^2+(b-x)^2}{2}=\frac{1}{2}(-x(2a+x)+x(2b-x))>0$

[arqady]

xmaister в сообщении #636820 писал(а):

$f(a,b)-f(a+x,b-x)=a^a+b^b+(a+x)^2+(b-x)^2-a^2-b^2-(a+x)^{a+x}-(b-x)^{b-x}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{(a+x)^2+(b-x)^2}{2}$

Что-то здесь не то.

[xmaister]

Не вижу пока. А где конкретно ошибка? Знак равенства надо заменить на неравенство.

[xmaister]

(Оффтоп)

Я верно докзаал Ваше неравенство или ещё где-то прокол есть?

[Руст]

Неравенство получается в одну строчку, если обозначить меньшее через 1-x, большее через 1+x

$$(1-x)^{1-x}+(1+x)^{1+x}=(1-x)(\frac{1}{1-x})^x+(1+x)(1+x)^x\ge (1-x+1+x)(1+x)^x\ge 2(1+x*x)=(1-x)^2+(1+x)^2.$$

[arqady]

xmaister, Ваше доказательство неверно как раз в том же месте.

Руст в сообщении #636938 писал(а):

$$(1-x+1+x)(1+x)^x\ge 2(1+x*x)$$

Это неверно.

[Sergic Primazon]

Руст в сообщении #636938 писал(а):

Неравенство получается в одну строчку, если обозначить меньшее через 1-x, большее через 1+x

$$(1-x)^{1-x}+(1+x)^{1+x}=(1-x)(\frac{1}{1-x})^x+(1+x)(1+x)^x\ge (1-x+1+x)(1+x)^x\ge 2(1+x*x)=(1-x)^2+(1+x)^2.$$

$(1-x+1+x)(1+x)^x\ge 2(1+x*x)$ - неверно

[DjD USB]

Это потому что х может быль не натуральным( точнее он почти всегда не натуральный при условии задачи)?

[arqady]

Ну да. Например, $x=0.5$.
Кстати, в одну строчку его, наверное, трудно доказать, но в две строчки - можно.

[Руст]

Да неравенство $(1+x)^a-1-ax\ge 0, (x\ge 0)$ работает только при $a\ge 1$. Здесь $a=x$ растущая функция, однако это не помогает.
Можно тупо вычислять вторую производную от $f(x)=(1-x)^{1-x}+(1+x)^{1+x}-2-2x^2, f(0)=f'(0)=f''(0)=0$ и показывается, что оно положительное. Но это эстетический не красиво.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #636676 писал(а):

А вот это:
Для положительных $a$ и $b$ таких, что $a+b=2$, докажите, что:

$$a^a+b^b\geq a^2+b^2$$

Обозначим : $a=1-x$ , $b=1+x$ $(0<x<1) $

Тогда неравенство перепишется в виде : $(1-x)^{1-x}+(1+x)^{1+x} \ge 2(1+x^2)$

и одна строчка :$\boxed {\left (1+x) \right ^{1+x} \ge 1+x+x^2+\frac{x^3}{2}}$ при $x>-1$

$( f(x)=(1+x)ln(1+x)-ln(1+x+x^2+\frac{x^3}{2}) , f'(0)=0 , f''(x)>0 $ при $x >-1 )$

[arqady]

Я имел в виду $x^x\geq\frac{x^3-x^2+x+1}{2}$, но это то же самое.