Вы когда даёте лабораторную работу по численному интегрированию, то самую высокую точность Вы даёте студентам в методе Симпсона или
Самую высокую -- в трёхточечной формуле Гаусса. Мы не гонимся за рекордами; наша цель -- отследить, как общая теория отражается на практической эффективности вычислений. Потому мы и отслеживаем скорости сходимости для формул Ньютона-Котеса (конкретно прямоугольников, трапеций и Симпсона -- дальше неинтересно) и для сравнения трёхточечную Гаусса как простейшую, дающую при тех же вычислительных затратах качественно более точный результат, чем предыдущие. Это одна направляющая идея; а другая -- убедиться на конкретных примерах в том, что недостаток гладкости разрушает точность любой самой замечательной формулы. И наоборот: в некоторых частных, но при этом вполне встречающихся на практике случаях даже самая грубая по замыслу формула даёт нечаянно ничуть не худший результат, чем любая сколь угодно более изысканная. И потом, в идеале, желательно, чтобы мемберы осознали причины тех циферок, которые они наблюдают бегущими на экране. Что, к сожалению, встречается довольно редко; но уже то,что они те цифирки и различия между ними хотя бы наблюдают воочию -- уже полезно.