сравнение функций ("о малое")

[gefest_md]

Почему в Замечании 1 ставится условие $x_0\notin X$? Я пробовал доказать и не нашёл применения данному условию. То же самое условие встречается и в других местах, поэтому подозреваю, что этому есть какое-то объяснение.

Цитата:

Пусть функции $f$ и $g$ заданы на множестве $X$ и $x_0$ - конечная или бесконечная удалённая точка прикосновения этого множества. При этом возможны случаи, когда $x_0\in X$ и когда $x_0\notin X$.
Будем предполагать, что существуют такие окресность $U=U\left(x_0\right)$ точки $x_0$ и функция $\varphi$, заданная на $X\cap U$, что для всех $x\in X\cap U$ выполняется равенство $f(x)=\varphi(x)g(x)$.
...
Определение 3. Функция $f$ называется бесконечно малой относительно функции $g$ при $x\to x_0$, если функция $\varphi$ - бесконечно малая при $x\to x_0$, т.е. если $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=0\quad(9.24)$ ...
...
Замечание 1. Если в условиях определений 3 или 4 функция $g$ не обращается в нуль на множестве $X\cap U$ и $x_0\notin X$, то условие (9.24) можно записать в виде $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ ...

[gefest_md]

У Зорича отыскал такой текст.

Цитата:

Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, говорят, что интересуются асимптотикой или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки.

Почему в точке функция, как правило, не определена? Какая разница?

Сразу за этим следует такой текст.

Цитата:

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Раньше цитировал "Краткий курс" Кудрявцева.

...
Потому, что "асимптотика"? Может назвать по другому?

[Sonic86]

gefest_md в сообщении #637747 писал(а):

Почему в точке функция, как правило, не определена? Какая разница?

По-моему, это тоже не нужно. Вполне правомерно говорить об асимптотике $\sin x$ при малом $x$.

В общем, если это верно, то я тоже не понимаю тогда.

-- Вт окт 30, 2012 13:08:49 --

Определение 3 некорректно: в нем объявлена неиспользуемая функция $g$.

[ewert]

gefest_md в сообщении #637747 писал(а):

Почему в точке функция, как правило, не определена?

Потому что формулировка небрежна. Следовало сказать "потому, что функция не обязана быть определённой в этой точке".

gefest_md в сообщении #637747 писал(а):

Потому, что "асимптотика"? Может назвать по другому?

Неможно: это -- общеупотребительный термин. А вот "с малой относительной погрешностью" -- тоже небрежно (точнее, излишне лирично): следовало сказать что-нибудь типа того, что "чем ближе, тем та погрешность меньше".

Sonic86 в сообщении #637749 писал(а):

Определение 3 некорректно: в нем объявлена неиспользуемая функция $g$.

Только не $g$, а $\varphi$. И она по контексту явно была определена раньше.