Посчитать сумму

[Keter]

$$\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k$$

Начну с задачи, из которой появилась потребность формулы такой суммы.

Цитата:

Для всех $n \in \mathbb{N}$ посчитат сумму

$$S=[\log_2 1]+[\log_2 2]+[\log_2 3]+...+[\log_2 n].$$

Я начал с простого анализа того, что у нас есть: $[\log_2 a]=b$, пусть $c$ - количество членов, принимающих одно и тоже значение

$\begin{array}{|c|c||c|} {[\log_2 a]} & {=b} & c \\ \hline {[\log_2 1]}&{=0}&1\\ {[\log_2 2]=[\log_2 3]}&=1&2\\ {[\log_2 4]=...=[\log_2 7]}&{=2}&{4=2^2}\\ {[\log_2 2^{n-1}]=...=[\log_2 2^n-1]}&{=n-1}&{2^{n-1}}\\ \end{array}$

Откуда сразу делаем вывод, что $[\log_2 2^n]=n$, то есть

$$S-n=0 \cdot 1+1 \cdot 2+2 \cdot 4+ 3 \cdot 8+...+(n-1) \cdot 2^{n-1}$$

$$S-n=2 \cdot (1+2 \cdot 2+ 3 \cdot 2^2+...+(n-1) \cdot 2^{n-2})$$

$$S-n=2 \sum_{k=0}^\infty 2^{n-2}(n-1)$$

То есть задача свелась к нахождению суммы $\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k$. Как её можно найти? (Нужно найти формулу, по которой можно вычислить сумму для конкретного количества членов)

[xmaister]

Keter в сообщении #636526 писал(а):

То есть задача свелась к нахождению суммы $\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k$. Как её можно найти?

Никак.

[Keter]

xmaister Почему?

[xmaister]

Давайте начнем с того, что Вы объясните, что понимаете под этим: $\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k$?

[Keter]

$$\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k=0+1+2 \cdot 2+3 \cdot 2^2+...+k\cdot 2^{k-1}$$

Кстати, еще, что я заметил, так это то, что

производная функции $f(x)=x+x^2+...+x^{n-1}$ в точке два, то есть $f'(2)$ будет равняться $f'(2)=\sum_{n=0}^\infty 2^{n-2}(n-1)$

Но я не знаю зачем это нужно и нужно ли вообще, просто случайно заметил.

-- 27.10.2012, 17:50 --

xmaister, может я не так выразился? Нужно найти формулу, по которой можно вычислить сумму для конкретного количества членов $k$.

[xmaister]

Keter в сообщении #636536 писал(а):

$$\sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}k=0+1+2 \cdot 2+3 \cdot 2^2+...+k\cdot 2^{k-1}$$

Тут что-то бессмысленное написано. Во первых, сумма у Вас бесконечная. Бесконечная сумма $\sum_{k=0}^\infty a_k$ обычно (но не всегда), определяется как $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$, где $S_n=a_0+a_1+\ldots+a_n=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k$. Дело в том, что мы не умеем суммировать бесконечные суммы, только конечные. А такое определение бесконечной суммы более естественно, но можно и по дугому определять (погуглите обобщенное суммирование). Хотя, когда Вас, например, просят просуммировать ряд без специальных оговорок, то это обычно означает, что от Вас требуется найти предел частичных сумм $S_n$.

-- 27.10.2012, 19:04 --

А посчитать $\sum\limits_{n=0}^{k}2^{n-1}n$ просто. Как Вы верно заметили, следует рассмотреть функцию $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{k}x^{n}$, тогда $f'(x)=\sum\limits_{n=0}^{k}x^{n-1}n$. Явный вид $f(x)$ мы знаем.

[Keter]

xmaister в сообщении #636539 писал(а):

следует рассмотреть функцию

Ну теперь мне уже понятно, почему мы её рассматриваем. Только я не знаю, чему равняется $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{k}x^{n}$. А дальше что, когда я найду формулу $f(x)$?

[xmaister]

Keter в сообщении #636556 писал(а):

А дальше что?

Дифференцируйте.

[Keter]

xmaister, это я понял. Как мне найти $\sum\limits_{n=0}^{k}x^{n-1}n$, зная формулу $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{k}x^{n}$, для $x=2$?

[ИСН]

Никак. Для дифференцирования мало знать функцию в одной точке. Надо знать формулу $f(x)=\sum\limits_{n=0}^kx^n$ для любых x.

[Keter]

ИСН, ну я же говорю, допустим, что я знаю эту формулу. И как нужную сумму выразить?

Нашел в вики, но так и не понял, как эти формулы выводят??
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^kx^n=\dfrac{1-x^{k+1}}{1-x}$

[Someone]

Keter в сообщении #636680 писал(а):

Нашел в вики, но так и не понял, как эти формулы выводят??

Распишите сумму подробно (без знака суммирования), умножьте обе части равенства на $1-x$ и раскройте скобки.

[_Ivana]

Keter в сообщении #636680 писал(а):

Нашел в вики, но так и не понял, как эти формулы выводят??

Цитата:

Сумма первых членов геометрической прогрессии:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%B8%D1%8F
Вывод там же, по кнопочке "показать доказательство". Выводят в школе, насколько я помню.

[ИСН]

Теперь дифференцируйте. О производных слышали когда-нибудь, например?

[Mitrius_Math]

Да не нужно ничего дифференцировать и интегрировать. Пусть $S_n=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}k$. Выразите $S_{n+1}$ двумя способами:
1) $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$;
2) $S_{n+1}=a_1+\sum_{k=1}^{n}2^{k-1+1}(k+1)$.
Теперь приравняйте эти выражения и из $\sum_{k=1}^{n}2^{k-1+1}(k+1)$
выделите $S_n$.

-- Вс окт 28, 2012 11:24:16 --

Keter в сообщении #636680 писал(а):

Нашел в вики, но так и не понял, как эти формулы выводят??
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^kx^n=\dfrac{1-x^{k+1}}{1-x}$

Пусть $S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k=1+x^2+x^3+...+x^n \ (I)$. Тогда $xS_n=\sum_{k=0}^{n}x^{k+1}=x+x^2+x^3+...+x^{n+1} \ (II)$. Вычитаем $(II)$ из $(I)$ и получаем формулу.