Две противоположные точки с одинаковой температурой

[Ktina]

_Ivana в сообщении #636393 писал(а):

Можно просто рассмотреть новую функцию в точке - разность температуры в ней и в противоположной точке. Она непрерывна, и т.д. Значит проходит через ноль.

(Оффтоп)

Ну вот. Доярка из Ухрюпинска долго мучалась, но потом пришли японцы и всё наладили

[xmaister]

Я Вас опять же не понял . Можете сформулировать это в виде теоремы?

Т.е. пусть $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$- непрерывная и пусть $a,b\in\mathbb{S}^1$, такие что $f(a)<f(b)$ тогда существует $\xi\in\mathbb{S}^1$, т.ч. $f(\xi)=\xi$?

[Ktina]

xmaister в сообщении #636395 писал(а):

Я Вас опять же не понял . Можете сформулировать это в виде теоремы?

Т.е. пусть $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$- непрерывная и пусть $a,b\in\mathbb{S}^1$, такие что $f(a)<f(b)$ тогда существует $\xi\in\mathbb{S}^1$, т.ч. $f(\xi)=\xi$?

Ну так Вы же только что и сформулировали.

[xmaister]

Хорошо, теперь поясните, пожалуйста, почему, если функция $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$- непрерывна и $f(a)<0<f(b)$ для некоторых $a,b\in\mathbb{S}^1$, то существует точка в которой $f$ принимает нулевое значение?

[Ktina]

xmaister в сообщении #636398 писал(а):

Хорошо, теперь поясните, пожалуйста, почему, если функция $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$- непрерывна и $f(a)<0<f(b)$ для некоторых $a,b\in\mathbb{S}^1$, то существует точка в которой $f$ принимает нулевое значение?

Могу пояснить только на интуитивном уровне. Строгого доказательства не знаю (покамест). А может и знаю, но торможу.

[_Ivana]

Можно просто сослаться на авторитеты http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%88%D0%B8
Непрерывность разности непрерывных функций тоже, строго говоря, надо доказать или сослаться на авторитеты.

[xmaister]

Да, действительно просто. Т.е. от компактности $\mathbb{S}^n$ все равно ни куда не деться.
Тьфу ты, что-то меня переклинило. Я как-то забыл, что непрерывный образ связного топологического пространства- связен . А это уже тривиальный факт.

[bot]

Собственно это верно для любой спрямляемой замкнутой кривой с заданной на ней непрерывной функцией. Можно даже самопересечения допускать.

-- Сб окт 27, 2012 16:53:17 --

Хм, а есть спрямляемая кривая, у которой между любыми двумя точками (считая по возрастанию естественного параметра) есть точка самопересечения?

[xmaister]

bot в сообщении #636410 писал(а):

Собственно это верно для любой спрямляемой замкнутой кривой с заданной на ней непрерывной функцией.

А разве не для любой кривой? Это же непрерывное $\gamma: [a,b]\to X$, непрерывный образ $[a,b]$- связен...

[Nemiroff]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #636406 писал(а):

Я как-то забыл, что непрерывный образ связного топологического пространства- связен

Это всегда жутко, когда факт по типу: "ну разрежем экватор пополам, если на концах температуры одинаковы, то и слава Пифагору, если нет - наложим графики температуры один на другой - поскольку они непрерывны и один слева больше чем другой, а справа меньше, чем другой, то они пересекаются - вот вам точка", - объясняют "непрерывным образом" и "группами гомологий". Это круто и правильно, но жутко.

[TOTAL]

Nemiroff в сообщении #636430 писал(а):

Это круто и правильно, но жутко.

Расскажите о способе, лишенном жути.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #636439 писал(а):

Расскажите о способе, лишенном жути.

В предыдущем посте, собственно.

[ex-math]

Обычная теорема Больцано-Коши.

(Оффтоп)

И это не круто и не правильно -- городить абстракции там, где они совершенно не нужны. Кроме того, очень легко оказаться в глупом положении, не увидев за их нагромождением очевидного. Будьте проще.

[xmaister]

ex-math в сообщении #636450 писал(а):

городить абстракции там, где они совершенно не нужны.

Какие абстракции? Да, гомологии тут не нужны, согласен, но "непрерывный образ связного пространства- связен"- тривиальный факт.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #636454 писал(а):

Да, гомологии тут не нужны, согласен, но "непрерывный образ связного пространства- связен"- тривиальный факт.

Дело не в тривиальности (я бы даже с этим поспорил). Дело в том, что можно не понимать ни что такое связность, ни что такое образ, ни уж тем более, что такое гомология (как я, например). И при этом вполне понять задачу, найти путь к решению (на пальцах) - вот это и есть решение задачи.