Смежные классы, индексы подгруппы

[integral2009]

Помогите, пожалуйста, разобраться с понятиями.

1) Пусть $G$ - группа, $H$ - ее подгруппа. Левый смежный класс группы $G$ по подгруппе $H$ - это множество $G$ вида $aH$, где $a$ - некоторый элемент из $G$

А что означает такая запись $aH$ -- ? Может ли $a\in H$? $aH$ - это подгруппа или не всегда?

2) Число левых смежных классов группы $G$ по $H$ обозначается $(G:H)$ и называется левым индексом подгруппы $H$ в $G$.

Как с первым разберусь, хотелось бы и понять второе

[bot]

$aH=\{ah|h\in H\}$. После усвоения этого обозначения, остальные вопросы должны отпасть сами.

[integral2009]

bot в сообщении #635691 писал(а):

$aH=\{ah|h\in H\}$. После усвоения этого обозначения, остальные вопросы должны отпасть сами.

Спасибо, пока не все вопросы отпали, значит не до конца усвоил...

Пусть $\bullet$ - бинарная операция на группе

Если есть группа $G=(M,\bullet)$, то под $ah$ подразумевается $a\bullet h$?

Если есть группа $G=(M,\bullet)$ и ее подгруппа $H=(N,\bullet)$, притом $M=\{a_1,a_2,..,a_i,...a_j,...a_n\}$, а $N=\{a_i,...,a_j\}$

То число левых смежных классов будет $n-(j-i+1)$ или просто $n$? Понятно, что все $a_i,...a_j$ содержатся в $M$, но просто ведь $a_ka_m\in N$, если $k\in \{i,...,j\}$ и $m\in \{i,...,j\}$, в силу замкнутости подгруппы относительно бинарной операции. Просто не вижу смысла в том, чтобы в $aH$ среди $a$ рассматривать те, которые принадлежат $H$ ввиду того, что ничего нового это не даст... Или я бред пишу?

[bot]

Зачем такие жирные операции? Пусть будет просто точка, которую и пропустить не грех.
А элементов почему мало? Определение смежного класса никакими мощностями не лимитируется - в группе $G$ и в её подгруппе $H$ может быть сколь угодно много элементов - хоть континуум или ещё больше. Из первого сообщения у Вас вопросы отпали или нет? Если нет, то зачем новые задаёте - может они бы и не возникли?

[VAL]

integral2009 в сообщении #635703 писал(а):

Пусть $\bullet$ - бинарная операция на группе
Если есть группа $G=(M,\bullet)$, то под $ah$ подразумевается $a\bullet h$?

Да.

Цитата:

Если есть группа $G=(M,\bullet)$ и ее подгруппа $H=(N,\bullet)$, притом $M=\{a_1,a_2,..,a_i,...a_j,...a_n\}$, а $N=\{a_i,...,a_j\}$

То число левых смежных классов будет $n-(j-i+1)$ или просто $n$?

Оба раза мимо.

Цитата:

Просто не вижу смысла в том, чтобы в $aH$ среди $a$ рассматривать те, которые принадлежат $H$ ввиду того, что ничего нового это не даст...

Нового не даст (в этом случае смежный класс будет совпадать с подгруппой). А смысл есть.

PS: Не запутывайте себя лишними обозначениями. Удобно обозначать множество, на котором задана группа, и саму группу одной и той же буквой.

[integral2009]

VAL в сообщении #635732 писал(а):

Оба раза мимо.

А сколько на самом деле тогда, если число элементов все-таки ограничено?

-- Чт окт 25, 2012 20:16:21 --

bot в сообщении #635719 писал(а):

Зачем такие жирные операции? Пусть будет просто точка, которую и пропустить не грех.
А элементов почему мало? Определение смежного класса никакими мощностями не лимитируется - в группе $G$ и в её подгруппе $H$ может быть сколь угодно много элементов - хоть континуум или ещё больше. Из первого сообщения у Вас вопросы отпали или нет? Если нет, то зачем новые задаёте - может они бы и не возникли?

Ну только 2 вопрос не был сформулирован толком, он и остался. Как посчитать число левых смежных классов для подгруппы $H$ (то есть левый индекс), если число элементов конечно (а нужно это для того, чтобы понимать последующую теорию, которая базируется на этой, то есть, чтобы лучше понимать базовые понятия).

Вот например, чтобы понять --- почему порядок тривиальной подгруппы $(G:1)$, а также - почему $(G:H)(H:1)=(G:1)$

[AV_77]

Вы возьмите какую-нибудь простую группу и посмотрите на примере как строятся смежные классы.
Например, возьмем группу целых чисел $\mathbb{Z}$. В ней возьмем подгруппу $3 \mathbb{Z}$ из чисел, кратных $3$. Тогда получим следующие смежные классы
1) $0 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \ldots \}$
2) $1 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, \ldots \}$
3) $2 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, \ldots \}$
Индекс подгруппы равен 3.

[VAL]

integral2009 в сообщении #635786 писал(а):

VAL в сообщении #635732 писал(а):

Оба раза мимо.

А сколько на самом деле тогда, если число элементов все-таки ограничено?

В смысле, число элементов конечно?
В Ваших обозначениях будет $\frac{n}{j}$ смежных классов.
Чтобы это понять, надо сначала понять, что все смежные классы равномощны (в каждом из них столько же элементов, сколько в исходной подгруппе) и образуют разбиение (различные классы не пересекаются, а их объединение дает всю группу).

[integral2009]

AV_77 в сообщении #635795 писал(а):

Вы возьмите какую-нибудь простую группу и посмотрите на примере как строятся смежные классы.
Например, возьмем группу целых чисел $\mathbb{Z}$. В ней возьмем подгруппу $3 \mathbb{Z}$ из чисел, кратных $3$. Тогда получим следующие смежные классы
1) $0 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \ldots \}$
2) $1 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, \ldots \}$
3) $2 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, \ldots \}$
Индекс подгруппы равен 3.

Спасибо, благодаря этому примеру -- понял, что такое смежный класс!

А это равенство $(G:H)(H:1)=(G:1)$ можно понимать так, что мощность группы равна произведению мощности мощностей смежных классов на количество смежных классов?

[AV_77]

integral2009 в сообщении #635831 писал(а):

можно понимать так, что мощность группы равна произведению мощности мощностей смежных классов на количество смежных классов?

Равенство надо понимать так, как написано. А написано, что порядок группы равен произведению порядка подгруппы на число смежных классов (индекс подгруппы).

Естественно, что это для конечных групп.

[integral2009]

AV_77 в сообщении #635836 писал(а):

integral2009 в сообщении #635831 писал(а):

можно понимать так, что мощность группы равна произведению мощности мощностей смежных классов на количество смежных классов?

Равенство надо понимать так, как написано. А написано, что порядок группы равен произведению порядка подгруппы на число смежных классов (индекс подгруппы).

Естественно, что это для конечных групп.

Спасибо большое, остался последний вопрос! А порядок группы -- это индекс тривиальной подгруппы, но что такое порядок подгруппы в том примере, которые вы привели (про целые числа)?

[AV_77]

integral2009 в сообщении #635848 писал(а):

что такое порядок подгруппы в том примере, которые вы привели (про целые числа)?

То же, что и всегда, мощность множества.