Мат. ожидание и дисперсия после преобразования

[Dmitrii]

Здравствуйте!!!

Есть исходная мультипликативная модель функции из одной из предметных областей (теория сигналов):

$$ f(x) = f_1(x)f_2(x), \qquad x = 0,1,...,N \eqno (1) $$

Функция $f_2(x), \; x=1,...,N-1 $, имеет распределение $\chi^2/2 с двумя степенями свободы. Величины $f_2(0)$ и $f_2(N)$ имеют распределение $\chi^2 с одной степенью свободы.

Это исходные данные.

Далее осуществляется переход от исходной мультипликативной модели к аддитивной модели путем взятия натурального логарифма. В результате получается:

$$ \ln f(x) = \ln f_1(x) + \varepsilon (x) + E[\ln f_2(x) ] \qquad x = 0,1,...,N \eqno (2) $$

где $ E[...]$ - оператор математического ожидания

В связи с тем, что я написал, мне непонятны следующие вещи:

В книге написано, что случайная величина $ \varepsilon (x) = \ln f_2(x) - E[\ln f_2(x) ] $ имеет следующие статистические характеристики:

$$ D[\varepsilon (x) ] = \pi^2/6, \qquad 0<x<N \eqno (3) $$

$$ D[\varepsilon (x) ] = \pi^2/2, \qquad x=0; x=N \eqno (4) $$

Кроме того, там сказано, что

$$ E[\ln f_2(x) ] = \ln 2 + \gamma \eqno (5) $$

где $ \gamma $ - константа Эйлера.

Я не могу понять, как были получены эти выражения для математического ожидания и дисперсии. Кроме того, подскажите, пожалуйста, как мне найти распределение величины $ \varepsilon(x) $.

Заранее спасибо

[--mS--]

Сколько подробностей, не имеющих отношения к вопросу... Вы задаёте вопрос:
Пусть случайная величина $X$ имеет распределение хи-квадрат с $k$ степенями свободы. Как посчитать математическое ожидание и дисперсию $\ln(X)$, а также распределение величины $\ln(X)-\mathsf E\ln(X)$.

Берёте вот здесь плотность распределения $\chi^2_k$, потом вычисляете по определению первый и второй моменты

$$\mathsf E\ln(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx, \qquad \mathsf E\ln^2(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln^2(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx.$$

Плотность распределения есть производная функции распределения, которая равна

$$F_{\varepsilon}(t)=\mathsf P(\ln(X) - c < t) = \mathsf P(X < \exp(t+c)) = F_X(e^{t+c}), \quad f_{\varepsilon}(t) = f_X(e^{t+c})\cdot e^{t+c}, \ t\in\mathbb R.$$

Осталось подставить.

[Dmitrii]

Большое спасибо!!!

Действительно, все как-то выглядит просто.... Я знаю все те свойства, о которых Вы пишите, просто, видимо, смутило это распределение хи-квадрат.

Я все выкладки обязательно проделаю и, надеюсь, там все получится.

[Dmitrii]

У меня возникли некоторые проблемы с вычислением интегралов. Поэтому хотел бы снова попросить Вас помочь:

--mS-- в сообщении #633580 писал(а):

Берёте вот здесь плотность распределения $\chi^2_k$, потом вычисляете по определению первый и второй моменты
$$\mathsf E\ln(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx, \qquad \mathsf E\ln^2(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln^2(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx.

1) Сначала для математического ожидания случайной величины с распределением $\chi^2_2$/2 (две степени свободы). Получаем:

$$\mathsf E\ln(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx \; \mathsf = 0.5\int\limits_0^{\infty} \ln(x/2)\exp(-x/2)\,dx = -\gamma$$

Это согласно представлению константы Эйлера через несобственный интеграл (если там все правильно): http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 1%80%D0%B0

Проблема в том, что в книге почему-то результат просто \gamma со знаком "плюс", а у меня получилось со знаком "минус". В чем у меня ошибка? Или все правильно?

2) Теперь, что касается математического ожидания случайной величины $\chi^2_1$ (одна степень свободы): Получаем:

$$\mathsf E\ln(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln(x) x^{-1/2} \exp(-x/2)dx \; $$

В книге приводится результат вычисления данного интеграла: \ln(2) + \gamma. Я не понимаю, как взять этот интеграл, чтобы получить такой результат. На всякий случай проверьте, пожалуйста, правильно ли я вообще записал подынтегральное выражение.

Заранее огромное спасибо

[--mS--]

Ну уж по интегралам я Вам не помогу :) В первом под логарифмом должно быть $x$, а не $x/2$. Во втором константы потеряны всякие. Попробуйте wolframalpha.com .

[Dmitrii]

Спасибо за ответ. С интегралами я постараюсь разобраться.

1) Скажите, пожалуйста, а выражения для плотности вероятности, которые я подставляю в интегралы, у меня правильные (в обеих интегралах)? Там не допущена ошибка?

2) Что значит $\chi^2_2$/2? Что означает двойка после знака деления? Я поэтому в качестве аргумента логарифма и подставил половинный аргумент, т.к. решил, что это надо сделать из-за этой двойки.

3) О каких константах идет речь во втором интеграле (которые я забыл)? Вроде проверяю, все соответствует...

Заранее спасибо

--mS-- в сообщении #635464 писал(а):

Ну уж по интегралам я Вам не помогу :) В первом под логарифмом должно быть $x$, а не $x/2$. Во втором константы потеряны всякие. Попробуйте wolframalpha.com .

[--mS--]

Ну я-то откуда знаю, что означает "$\chi^2_2/2$"? Так не пишут. Возможно, это распределение величины, равной половине от величины с распределением хи-квадрат, тогда действительно пополам делить нужно. А возможно, опечатка.
С выражениями для плотности вероятности - берёте в википедии, подставляете нужное $k$. Не вижу, зачем здесь нужна моя помощь. $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.

[Dmitrii]

Вроде бы я начинаю разбираться с заданием .....

1) Я нашел в книге, что означает $\chi^2_2/2$. Там говорится, что это эквивалентно экспоненциальному распределению со средним значением, равным 1. Значит, первый интеграл приобретает вид:

$$\mathsf E\ln(X) = \int\limits_0^{\infty} \ln(x) f_{\chi^2(k)}(x)\,dx \; \mathsf = \int\limits_0^{\infty} \ln(x)\exp(-x)\,dx = -\gamma$$

2) Насчет второго интеграла: я нашел его значение в справочнике Рыжика (стр. 590, издание 1963 года). В итоге получилось:

$$\mathsf E\ln(X) = (1/\sqrt{2\pi)}\int\limits_0^{\infty} \ln(x) x^{-1/2} \exp(-x/2)dx = \psi(1/2) - \ln(1/2) = -\gamma - 2\ln2 + \ln2 = -\gamma - \ln2 \; $$

В вышеприведенной формуле \psi(x) -пси-функция (производная Гамма-функции), \gamma - константа Эйлера.

Оба результата сходятся по модулю, но я пока не могу понять, почему в обоих случаях различаются знаки. Т.е. в книге значения интегралов \gamma и \gamma + \ln2 соответственно. Из-за чего может быть это расхождение? Или, может быть, это там опечатка, а в моих выкладках все верно?

Заранее спасибо

[--mS--]

Отрицательными оба матожидания быть должны. Вблизи нуля вероятностная масса большая, логарифм скорее отрицательный, чем положительный.