Простой предел, да непростое обоснование

[Anjjey]

$\lim\limits_{x\to +\infty} (\frac{\ x^2+2x+1}{x^2+x+1})^{3x-1}$

Понятно, что все это приводится к виду

$\lim\limits_{x\to +\infty} ((1+ \frac{\ 1}{x+1+\frac{1}{x}})^{3(x+1)}\cdot(1+ \frac{\ 1}{x+1+\frac{1}{x}})^{-6})$

Что при стремлении x к бесконечности эквивалентно

$\lim\limits_{x\to +\infty} (1+ \frac{\ 1}{x+1+\frac{1}{x}})^{3(x+1)}$

По идее, это просто $e^{3}$. Wolframalpha со мной в этом вопросе солидарен. Но вот что-то никак не придумаю как обосновать, что можно в дроби избавится от $\frac{1}{x}$

В принципе, при стремлении x к бесконечности, $\frac{1}{1+x+\frac{1}{x}}$ конечно эквивалентно $\frac{1}{1+x}$. Но оно же эквивалентно и просто 1. И тогда вообще можно сказать, что предел равен 1, что, очевидно, противоречит замечательному пределу.

Так что вопрос таков: как обосновать, что в дроби можно избавится от $\frac{1}{x}$ не свалившись к тому, что можно вообще избавиться от всей дроби и заменить ее на единицу?

Заранее спасибо.

[nnosipov]

Anjjey в сообщении #635599 писал(а):

как обосновать, что в дроби можно избавится от $\frac{1}{x}$

А зачем от неё избавляться? Пусть себе живёт. Проще показатель $3(x+1)$ подкрутить.

[Anjjey]

Вы имеете ввиду, сделать так:

$$\lim\limits_{x\to +\infty} (1+ \frac{\ 1}{x+1+\frac{1}{x}})^{3(x+1+1/x)}$$

[nnosipov]

Да.

[Anjjey]

Ну, в принципе да. Можно ж просто домножить на
$\lim\limits_{x\to +\infty} (1+ \frac{\ 1}{x+1+\frac{1}{x}})^{\frac{3}{x}}$, то бишь на единицу.

Отлично. Спасибо за помощь.